Calculo vectorial

Tarea 2 Programaci´n y Metodos n´ merios o u
Pamela Past´n e
Resumen En el siguiennte documento se analizaran dos funciones de dos variables, de las cuales veremos aspectos como ,puntos cr´ ıtricos ,m´ximos, m´ a ınimos locales, o volumen acotado por una superficie y restricta a un sierto dominio , el objetivo es analizar estos aspectos que son utilizados en ambitos de la matem´tica para teneruna nocion mas clara de la funciones en varias variables. a ´ INTRODUCCION

I.

El vector gradiente de una funci´n se define como: o F = ∂F ∂F , ∂x ∂y

Se resolveran 2 problemas de c´lculo de varias variables a ,donde el primero abarcar´ la parte de vectores gradiente a , puntos cr´ ıticos ,m´ximos y m´ a ınimos de la funci´n o F (x, y) = sin( x2 + y 2 )

Entonces calculamos las derivadasparciales de F cos( x2 + y 2 ) ∂F x = ∂x (x2 + y 2 ) cos( x2 + y 2 ) ∂F = y ∂y (x2 + y 2 ) Tenemos que el gradiente de F en un punto (x, y) es: F (x, y) = cos( x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) x, cos( x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) y

y el otro un problema de integral doble de la funci´n o G(x, y) = (x2 + y 2 )3/2 respecto a la regi´n D donde D es el disco x2 + y 2 ≤ 4 . o Los metodos de resoluci´n de los problemasson en base o a resultados de c´lculo en varias variables,en el primero a ocuparemos derivadas parciales, t´cnicas de derivaci´n , e o igualdad entre vectores,matriz hessiana de una funci´n, o determinante y criterios para m´ximos y m´ a ınimos de la funci´n y en el segundo ocuparemos metodos de integrao ci´n y cambios de coordenadas polares. o El objetivo es el estudiar espectos de funciones dedos variables, propiedades interesantes que estas puedan tener ,como el el vector gradiente de F en un punto , que apunta para una direcci´n donde la funcion es creciente o ,ademas esa direcci´n es la de mayor crecimiento.Adem´s o a de analizar la matriz hessiana de una funci´n que nos pero mite saber por distintos criterios si un punto es m´ximo a o m´ ınimo local,en este caso estudiaremos soloun criterio pero se pueden buscar otros en libros de calculo en varias variables ,el m´todo que se usara es practico y sencillo e por lo que al lector se le sera f´cil aplicar .En la parte de a integral se escogi´ un problema sencillo de integral doble o ,donde el m´todo de cambio de coordenadas sera clave e para obtener una resoluci´n mas sencilla y clara de resolo ver este tipo de integrales .Losproblemas de integrales de superficies sirven para el estudio de diversias areas, ya que la integral de una funci´n en una variables nos o entrega ´rea ,y en dos variables nos entrega un volumen a lo que nos da una mejor noci´n del estudio del espacio. o

Para calcular los puntos cr´ ıticos de la funci´n F tenemos o que resolver el sistema F = (0, 0) Ahora resolvemos cos( x2 + y 2 ) (x2 + y 2 )cos( x2 + y 2 ) (x2 + y 2 ) x=0 (1)

y=0

(2)

Tenemos que x = y = 0 ya que se nos indefinir´ la ıa ecuaci´n, por lo tanto analizaremos la igualdad o cos( x2 + y 2 ) = 0 (2k + 1)π ⇔ x2 + y 2 = con K = 1, 2 2 Entonces el conjunto Pde puntos cr´ ıticos de F es (2k + 1)π con K = 1, 2} 2 Si queremos determinar si un punto p ∈ P es m´xia mo local,m´ ınimo local o punto silla primero tenemos queobtener la matriz Hessiana de F que es P = {(x, y) ∈ R/ x2 + y 2 = 
∂2F ∂x2 ∂ F ∂y∂x
2

II.

´ METODO
∂2F ∂x∂y ∂ F ∂y 2
2

  

Sea la funci´n F : [0, 2π]x[0, 2π] → R con o F (x) = sin( x2 + y 2 )

 H(x, y) = 

2 Calculando los terminos de la matriz tenemos que ∂ ∂2F = ∂x2 ∂x = x2 + y 2 )x x2 + y 2 2. Si los determinantes de la submatrices tienes signo alternado comenzando conun valor negativo,entonces la funci´ F tiene un m´ximo local en ıon a p. x2 + y 2 − 2 3. Si no ocurre ningudo de los dos casos anteriores entonces se dice que p es un punto de ensilladura Entonces podemos tomar cualquier punto de l conjunto P de puntos cr´ ıticos y ver si es m´ximo, m´ a ınimo o punto de ensilladura de F. Otro aspecto de la funci´n F son las curvas de nivel que o corresponden...