calculo vectorial

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LECCION

1

Vectores en R2 y R3

Hacemos un recuento muy r´pido de los conceptos fundamentales de coordenadas de
a
puntos en el plano y en el espacio y de vectores bidimensionales y tridimensionales,
as´ como de las operaciones entre vectores.
ı

Para localizar puntos en el plano, se introducen dos ejes num´ricos perpendiculares
e
entre s´ cuyo punto O de intersecci´n es elorigen de los ejes num´ricos, es decir, el
ı,
o
e
punto con coordenada cero en cada eje num´rico. A uno de estos ejes lo designamos
e
eje X y al otro eje Y . Estos dos ejes num´ricos definen en el plano un sistema de
e
coordenadas cartesianas rectangulares. Las coordenadas (x, y) de un punto P en el
plano se obtienen proyect´ndolo ortogonalmente sobre los ejes X y Y , siendo x la
a
coordenadade la proyecci´n sobre el eje X y y la coordenada de la proyecci´n sobre
o
o
el eje Y . La notaci´n P (x, y) significa el punto P de coordenadas (x, y).
o

1

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LECCION 1. VECTORES EN R2 Y R3

Y
y

(x, y)

x

X

Figura 1.1
Dada una pareja de n´meros reales (x, y), se ubica en el eje X el punto Px de cooru
denada x y en el eje Y el punto Py de coordenada y. La rectaperpendicular al eje
X que contiene al punto Px y la recta perpendicular al eje Y que contiene al punto
Py se intersectan en un punto P del plano. Este punto tiene coordenadas (x, y), ya
que las proyecciones de P sobre los ejes num´ricos X y Y son los puntos Px y Py
e
con coordenadas x y y respectivamente.
Y
Py

·

Px

P (x, y)

X

Figura 1.2
El mismo procedimiento se puede emplearpara introducir un sistema de coordenadas
cartesianas rectangulares en el espacio. En este caso tendremos tres ejes num´ricos
e
X, Y , Z, perpendiculares entre si. Las coordenadas (x, y, z) de un punto P en el
espacio, se obtienen con el mismo procedimiento.

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Z
z
(x, y, z)
y Y
x
X

Figura 1.3
Dos puntos P y Q definen los segmentos de recta dirigidos PQ y QP. Estos dos
segmentos derecta se diferencian unicamente por su orientaci´n. Es decir, el seg´
o
mento dirigido PQ se supone recorrido desde P hasta Q, y el segmento dirigido QP
se supone recorrido desde Q hasta P .
Si introducimos un sistema de coordenadas en el espacio y (x1 , y1 , z1 ), (x2 , y2 , z2 )
son las coordenadas de P y Q, respectivamente, los tres n´meros x2 − x1 , y2 − y1
u
y z2 − z1 , son lascomponentes escalares del segmento dirigido PQ. Obs´rvese que
e
cada una de las componentes del segmento dirigido QP es el opuesto de la componente correspondiente del segmento dirigido PQ, de aqu´ la importancia de la
ı
orientaci´n de los segmentos dirigidos. Dos segmentos dirigidos son equivalentes si
o
sus componentes escalares correspondientes son iguales. No es dif´ mostrar que si
ıcil
P ,Q, R y S son cuatro puntos no colineales, los segmentos dirigidos PQ y RS son
equivalentes si, y solamente si, el cuadril´tero P QSR es un paralelogramo.
a
La igualdad de las componentes escalares correspondientes entre segmentos dirigidos
es una relaci´n de equivalencia y cada clase de equivalencia es un vector geom´trico.
o
e
Es decir, un vector (en este caso tridimensional) est´representado por un segmena
to dirigido PQ, o por cualquier otro segmento dirigido P’Q’ equivalente. As´ un
ı,
vector est´ completamente determinado por las componentes escalares de cualquier
a
segmento dirigido que lo representa. Se usa frecuentemente la notaci´n a, b, c para
o
denotar el vector con componentes escalares a, b y c y para notar los vectores las
letras con tipo negrita, por ejemplo,u , v , etc. En adelante para decir que el vector

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LECCION 1. VECTORES EN R2 Y R3

v tiene componentes escalares x, y, z , escribiremos v = x, y, z .
Sea v el vector representado por el segmento dirigido OP, donde O es el origen del
sistema de coordenadas cartesianas. Si (x, y, z) son las coordenadas del punto P , entonces x, y, z son las componentes escalares del vector v , ya...