Calculo vectorial

La demostración de este teorema es semejante a la del teorema 3-2
* Teorema 3-10:si un conjunto de eventos Q1, Q2 …, Qn son particiones de un conjunto Q y E es un subconjunto de Q entonces
P(E) = P(Q1) P(EIQ1) + P(Q2) P (EIQ2) + ……..+ P (Qn) P(EIQn).
Demostración: Puesto que E es un subconjunto de Q la partición Q1, Q2…, Qn determina una partición de E ; esto es si hacemos Q1E =E1, Q2 E = En , entonces E1, E2 ,,, . En es una partición de E.

Ahora bien P(E1) = P(Q1 E ) y por la definición de probabilidad condicional = P(Q1 E ) = P(Q1) P (E I Q1). En forma similar, se puede ver que P (Ek) = P(Qk) P (EI Qk) para k = 1 ,…, n. Por el teorema 3-9, tenemos P(E) = P(E1) + P(E2) + ….+ P(En) sustituyendo para cada P(Ek), se obtiene
P(E) = P(Q1)P(EIQ1) + P(Q2)P(EIQ2) +….+ P(Qn) P(EIQn),
O bien P(E) = k=1n P(Qk) P (EIQk).

A primera vista parece q el teorema 3-10 complica una situasion realmente sencilla; sin embargo, puede haber ocaciones en que conocemos los valores de P( Qk) y P(EIQk) pero, aun asi, no es fácil determinar P(E) En este caso, puede ser conveniente aplicar el teorema 3-10. En forma alternativa, simplemetntepodríamos usar el mismo razonamiento empleado para obtener este teorema.
Por ejemplo, supongamos que usted y un amigo están revisando su agenda y encuentran que ambos tienen boletos para el juego de esta noche. Los dos recuerdan que sus boletos pertenecen a la fila C., pero no recuerdan el numero de sus asientos. Usted sabe que hay 20 asientos en la fila C y se pregunta: ¿Cuál es la probabilidad deque los boletos correspondan a asientos contiguos? Si usted se sentara a lado de su amigo, es evidente que el se sentaría junto a usted asi que pueden considerar los lugares posibles donde el podría sentarse y determinar, en cada caso, la probabilidad de que usted se siente junto a el. Este problema se puede dividir en dos partes : primeor el caso Q1 en el que su amigo esta sentado en un extremo dela fila, y segundo, el caso Q2 en el que el esta en un asiento del interior de la fila. Como hay dos asientos extremos y dieciocho asientos interiores,

P(Q1)= 220 = 110
P(Q2) = 1920 = 910
Si E es la situación de que usted este sentado después de el, entonces P(EIQ1) = 119 (ya que en este caso solo 1 de los 19 asientos restantes es contigua al de su amigo) y
P(EIQ2) = 219 Entonces,P(E) = 110 •119 + 910•219
=1190 + 18190 = 19190 = 110
El teorema 3-10, conduce a un resultado interesante al que se le ha dado el nombre de Bayes, en honor de este matemático del siglo XVIII.
* Teorema 3-11: (Teorema de Bayes ): Si los eventos Q1,….., Qn forman una partición de Q, y E es un subconjunto de Q, entonces
P(QiIE) = PQ1P(EIQ1)PQ1PEIQ1+…+PQnP(EIQn) Demostracion: de ladefinición de probabilidad condicional , para dos eventos cualquiera E y Qi
Por tanto P(E) P(QiIE) = P(Qi) P (EIQi)
P(QiIE) = PQiP(EIQi)PE
Ahora, usando el teorema 3-10 y sustituyendo para P(E), obtenemos
P(QiIE) = PQiP(EIQi)PQiPEIQi+…+PQn P(EQn)
O sea
P(QiIE) = PQiP(EIQi)k=1nPQkP(EIQk)
2.- El teorema de Bayes se puede emplear para simplificar la resoluciónde problemas como el siguiente: en una escuela el 35% de los alumnos son del primer grado , 25% son del segundo, 20% son del penúltimo y 20% son del ultimo garado. Todos los del primer grado cursan Matematicas, 50% de los del segundo, 20% de los del penúltimo solamente 10% de los del ultimo grado? Sea M el evento ´´el alumno cursa Matematicas´´, Q1 el evento ´´es de primer grado´´ , Q2 ´´es desegundo grado´´, y asi sucesivamente. Entonces,

P(Q2IM) = PQ2P(MIQ2)PQ1PMIQ1+PQ2PMIQ2+PQ3PMIQ3+PQ4P(MIQ4
= 0.25(0.5)0.35 1+(0.250.5+0.20.2+0.2(0.1)
=0.1250.535 0.234.
El problema de la urna (ver 1 en la pagina 56) también se puede resolver usando el teorema de Bayes:
P(AN) = PAP(NA)P(A))P(NA)+P(R) P(NR)
=13•3413•34+ 23•12 = 1414+ 13 = 37...