Calculo Vectorial

TALLER CÁLCULO VECTORIAL
Ejercicio 1.
Aplique integrales dobles para demostrar que el volumen del sólido que se encuentra debajo del plano2x+y+2z=2 y arriba de la región triangular el vértices (0,0) (1,0) y (0,1) es 14u3
fx,y= 1-x-12y
Hallemos la pendiente y ecuación de la recta:
m=y2-y1x2-x1→m=0-11-0→m=-1
y-y0=mx-x0→y-0=-1x-1→y=-x+1
y=-x+1

VE=010-x+1 1-x-12ydydx
→VE=01y-xy-y24-x+10dx
→VE=01 1-x-x1-x-1-x24dx
→VE=01 1-x-x+x2-1-2x+x24dx
→VE=014-4x-4x+4x2-1+2x-x24dx
→VE=013x2-6x+34dx
→VE=3401x2-2x+1dx
→VE=34x33-x2+x10
→VE=34133-12+1
→VE=3413

→VE=14u3

EJERCICIO 2.
Pruebe que el volumen de la porción del cilindro 4x2 +y2 = a2 comprendida entre los planos z= 0 y z= my es 2/3 ma3 u3

SOLUCION:
4x2+y2=a2 z=0 z=my

y=±a2-4x2

Si y=0entonces
4x2+0=a2 -> 4x2=a2 → x2=a24 → x= ±a2

D=x , y∈ R2: -a2≤a≤a2 ; -a2-4x2 ≤ y ≤a2-4x2

V=-a2a2-a2-4x2a2-4x2mydy dx =-a2a2(my22)a2-4x2-a2-4x2 =-a2a2ma2-4x222+ma2-4x222dx
v=-a2a2ma2-4mx2dx=max-4mx33-a2a2
v=ma2a2-4m3(a2)2-ma2-a2-4m3(-a2)2
V=ma32-4ma33*8--ma32+4ma33*8
V=ma32-ma36+ma32-ma36=ma3-ma33
V=3ma3-ma33=23ma3

3.
xa+yb+zc=1

z=c1-xa-yb0a0-bax+bc-xca-ycbdydx= 0ayc-xcya-y2c2b-bax+b0
0a-bax+bc-xca-bax+b-c2b(-bax+b)2dx
0a-bax+bcdx-0axca(-bax+b)dx-0ac2b(-bax+b)2dx
0a-bax+bcdx=-bcx22a+bcxa0 = abc2
0axca(-bax+b)dx=-bcx33a2+bcx22aa0 = abc6
0ac2b-bax+b2dx=bcx36a2-bcx22a+xcb2a0=abc6
abc2-abc6-abc6=abc6u3

EJERCICIO 4.
Pruebe que el volumen del sólido que se muestra en la figura 1 es (8/3)-5π u3
Z=2
Z=4-x2
x+y=5

SOLUCION
V=D1fx,ydA-D2fx,ydA
D1=(x,y)∈R20≤x≤5 ^0≤y≤5-x
D2=(x,y)∈R20≤x≤2 ^0≤y≤5-x
V= 0505-x2 dy dx- 0205-x4-x2 dydx
V= 05205-xdydx- 024-x2(y)05-xdydx
V= 205(y)5-x0dx-024-x2(y)5-x0dx
V= 205(5-x) dx-024-x2(5-x)dx
V= 1005 dx-205x dx-502 4-x2dx+02x4-x2 dx
10x50- 2(x2)250

Resolviendo 3
5024-x2dx = x=2sinθ; dθ=2cosθdθ
5024-(2sinθ) 2 2cosθdθ= 5024(1-sin2θ) 2cosθdθ
1002(cos2θ) 2cosθdθ=2002cos2θdθ=20021+ cos2θ2dθ
1002dθ+ 1002cos2θ(2 dθ)= 10θ20+10sin2θ20= 10sin-1x2+ 5sin(2sin-1x2)
Resolviendo 4
4-X2=U ; -2xdx=du
-1202u12du= -1202(2323)20=-13(4-x2)3220

V=1005dx-205xdx-5024-x2dx+02x4-x2dx
10x50- 2(x2)250-10sin-1x2+ 5sin(2sin-1x2)20+-13(4-x2)3220
10550- 25-10sin-11+ 5sin(2sin-11)-0-0+ -13(4-22)32+13(4-0)32
V=25-10π2+ 0+-0+13432
V=25-5π+83
V=(833-5π)u35. Teniendo en cuenta la figura:
Demuestre que el volumen del solido S que se encuentra debajo de la esfera x2+y2+z2=4 y arriba de la región D (donde D=D1+ D2) es 32π
D2
D1
y=-x
y=x
1
2
1
2

ecuacion de la esfera= x2+y2+z2=4
fx,y= (4-(x2+y2)
D (4-(x2+y2)
por pitagoras tenemos que: r2= x2+y2
D (4- r2)rdrdθ
donde D=D1+ D2
D1=r,θ 1≤r≤2 y π2≤θ≤3π4→y=-x→rsenθ=-rcosθ→senθcosθ=-1→tanθ=-1→θ=tan-1(-1)→ θ=-π4→θ=3π4
D2=r,θ 1≤r≤2 y π4≤θ≤π2
→y=x→rsenθ=rcosθ→senθcosθ=1→tanθ=1→θ=tan-1(1)→ θ=π4
Quedaría:
VE=π23π4 12r(4- r2)drdθ + π4π2 12r(4- r2)drdθ
→VE=-12π23π4 122r(4- r2)drdθ + -12π4π2 122r(4- r2)drdθ

→VE=-12π23π4 234-r23221dθ + -12π4π2 234-r23221dθ

→VE=-13π23π40-33dθ - 13π4π2 0-33dθ

→VE=333π23π4dθ + 333π4π2dθ

→VE=3θ3π4π2 +3θπ2π4

→VE= 334π- 32π+ 32π- 34π→VE= 334π- 34π→VE= 234π
→VE= 32π

6.
x2+y2=1
z=1x2+y2+1

z=1x2+y2+1
x2+y2=1
x2+y2=r2
r,θ:0≤r≤1 & 0≤0≤2π
u=r2+1 du=2rdr

02π01rr2+1drdθ=02π01du2u =1202πlnu10dθ
1202πln|r2+110dθ=1202πln|2dθ= ln2πu3

EJERCICIO 8
Pruebe que el área superficial de la parte de la esfera x2+y2= 3x y arriba del plano xy es 9π u2.

SOLUCION
X2+Y2+Z2 =9X2+Y2=3X X2+Y2=r2

Z=( 9- X2- Y2)1/2
Fz/Fx = -x( 9- X2- Y2)1/2 Fz/Fx = -y( 9- X2- Y2)1/2
r2 = 3rcos θ
r2 - 3rcos θ=0
r( r - 3cos θ)=0 x=rcos θ y=r sen θ
r=0 ; r= 3cos θ
D{ TT/2 ≤θ≤ 3TT/2 ; 0 ≤r ≤ 3cos θ }
As= ( Fx2 + FY2)1/2
As=( -x( 9- X2- Y2)1/2 + -y( 9- X2- Y2)1/2 + 1 )1/2
As= TT/23TT/2...