Calculo

E.S.I.M.E. Azcapotzalco I.P.N. |
Unidad VI: Sucesiones y series
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Calculo Diferencial e Integral I |

Enrique Cisneros Fábregas
22/10/2010
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6.1 Concepto de sucesión y de serie de números reales.
Sucesión
Definición:
Una sucesión de números reales (o una sucesión en R)
es una aplicación de N en R ( X : N R )
y se denota como X = ( x n ) n    o    X = { x n | n  N }
Losnúmeros reales x 1 , x 2 , x 3 ,... se denominan elementos de la sucesión, valores de la sucesión o términos de la sucesión. Al término x n se le llama término n-esimo o término general de la sucesión.
Formas frecuentes de dar una sucesión:
1. Dando los primeros términos.
2. Dando la fórmula de x n en función de n.
3. Dando x n en función de términos anteriores (forma recursiva).Sea X = ( x n ) n una sucesión de números reales y sea n 1 < n 2 < · · · < n k < · · · una sucesión estrictamente creciente de números naturales.
Entonces a la sucesión Y dada por ( xn1,  xn2, · · · , xnk, · · · ) se le llama una subsucesión o una sucesión parcial de X.
Es útil para algunas demostraciones que aparecen en este tema aplicar el Principio de inducción:
Principio deinducción
Sea una propiedad P(n) que hace referencia a todos los números naturales.
Supongamos que sabemos demostrarla para n=1, es decir, la propiedad se cumple para P(1). Si la suponemos cierta para P(n) y demostramos que es cierta para P(n+1), entonces el principio de inducción dice que es cierta para todos los números naturales.
Ejemplo:
Demostrar que 1+3+5+···+(2n-1) = n2.
Solución:Veamos que es cierto para n=1
* (2·1-1) = 12.
* Supongamos que es cierto para n: 1+3+5+···+(2n-1) = n2.      [*]
* Vamos a demostrar que se cumple para n+1:
            1+3+5+···+(2n-1)+(2(n+1)-1) = (n+1)2
            1+3+5+···+(2n-1)+(2n+1) = n2+2n+1  y sustituyendo la expresión [*]
            obtenemos n2+2n+1=n2+2n+1.

Operaciones entre Sucesiones
 Dadas dossucesiones de números reales X = ( x n ) n Y = ( y n ) n definimos:
suma | X + Y = ( x n + y n ) n |
producto | X · Y = ( x n · y n ) n |
división | X / Y = ( x n / y n ) n , n : y n0 |
potencia | X Y =  |

Serie Numérica
"Sucesiones" y "series" pueden parecer la misma cosa... pero en realidad una serie es la suma de una sucesión.
Sucesión: {1,2,3,4}
Serie: 1+2+3+4 = 10
Las series sesuelen escribir con el símbolo Σ que significa "súmalos todos":
| Esto significa "suma de 1 a 4" = 10 |
  |   |
| Esto significa "suma los cuatro primeros términos de la sucesión 2n+1"

Que son los cuatro primeros términos de nuestro ejemplo {3,5,7,9,...} = 3+5+7+9 = 24 |

6.2 Criterios de convergencia de una sucesión y de una serie.
Sucesión Convergente
Sea X = ( x n ) n unasucesión de números reales y L un número real.
Decimos que L es límite de X si cumple :
   > 0  n 0 > 0 : | x n - L | <   n  n 0
y denotamos por L = lím X , L = lím ( x n ), L =  ( x n )  ó x n L
Si L es límite de X, se dice también que X converge a L o que X es convergente.
Si una sucesión converge a un límite L se cumple que, dado arbitrariamente un entorno de L, fuera del entorno haya lo sumo un número finito de elementos de la sucesión.

Sucesiones Divergentes y Oscilantes
Decimos que una sucesión X = ( x n ) n de números reales tiende a + 
(   x n  = +  ) si  k  R  n 0  N :  x n > k  n   n 0
Decimos que una sucesión X = ( x n ) n de números reales tiende a - 
(   x n  = -  ) si  k  R  n 0  N : x n < k  n   n 0
Decimos que una sucesión X = (x n ) n tiende a  ( infinito sin signo )
(   x n  =  ) si  k  R  n 0  N :  | x n | > k  n   n 0
y, además, a partir de este lugar n 0, hay términos positivos y términos negativos.
Una sucesión ( x n ) n es divergente cuando tiene límite + , -  o  .
Una sucesión ( x n ) n es oscilante cuando no es convergente ni divergente.

serie convergente

En el caso en que la sucesión de...