Calculo

PRODUCTO CARTESIANO

En teoría de conjuntos, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación que resulta en otro conjunto cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par del primer conjunto, y el segundo elemento del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4} y B = {a, b}, su producto cartesiano es:A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b), (4, a), (4, b)}
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría analítica dio origen a este concepto.1
Definición
Un par ordenado es una colección de dos objetos distinguidos como primero y segundo, y se denota como (a, b), donde a es el "primer elemento" y b el "segundo elemento". Dados dosconjuntos A y B, su producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con estos dos conjuntos:
El producto cartesiano de A y B es el conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un elemento de A y bun elemento de B:

Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un conjunto como A2 = A × A.


El conjunto Z2 puede visualizarse como elconjunto de puntos en el plano cuyascoordenadas son números enteros.
[editar]Ejemplos
Ejemplo 1
Sean los conjuntos R = {A, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K} y P = {♠, ♥, ♦, ♣} (los rangos y palos de la baraja inglesa). El producto cartesiano de estos conjuntos, B , es el conjunto de todas las parejas rango-palo:
B = R × P = {(A, ♠), (2, ♠), ..., (K, ♠), (A, ♥), ... (K, ♥), (A, ♦), ..., (K, ♦),(A, ♣), ..., (K, ♣) }
El conjunto B puede entenderse entonces como el conjunto de las 52 cartas de la mencionada baraja.
Ejemplo 2
Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo es Z2 = Z × Z = { (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes sonenteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se utiliza un plano cartesiano (en la imagen).
Ejemplo 3
Sean los conjuntos T de tubos de pintura, y P de pinceles:

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El producto cartesiano de estos dos conjuntos, T × P, contiene todos los posibles emparejamientos de pinceles y tubos de pintura. Demanera similar al caso de un plano cartesiano en el ejemplo anterior, este conjunto puede representarse mediante una tabla:






























[editar]Generalizaciones
[editar]Caso finito
Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo segundo elementoestá en A2, etc.
El producto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el conjunto de las n-tuplas cuyo elemento k-ésimo pertenece a Ak, para cada 1 ≤ k ≤ n:

Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2, como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta generalización puede construirse a partir de la definición básicacomo:
A1 × ... × An = A1 × ( A2 × ( ... × An )...)
o construcciones similares.
[editar]Caso infinito
En el caso de una familia de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el concepto de tupla por otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la"entrada k-ésima":
El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F = {Ai}i ∈ I es el conjunto de las aplicaciones f : I → ∪F cuyo dominio es el conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i ∈ I se tiene f(i) ∈ Ai:

donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado un j ∈ I, la proyección sobre la coordenada j es la aplicación:

En...