Calculo

COLEGIO DE BACHILLERES

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II

FASCÍCULO 1. LA INTEGRAL DEFINIDA UNA VISIÓN ESTÁTICA

Autores: Guadalupe Chávez Pérez Sergio Sánchez Carrillo

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COLEGIO DE BACHILLERES

Colaboradores:

Asesoría Pedagógica:

Revisión de Contenido:

Diseño Editorial:
Leonel Bello Cuevas Javier Darío Cruz Ortiz

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ÍNDICE

INTRODUCCIÓN PROPÓSITO CUESTIONAMIENTOGUÍA BOSQUEJO HISTÓRICO CAPÍTULO 1. INTEGRAL DEFINIDA
1.1 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA RECTA 1.2 ÁREA BAJO LA GRÁFICA DE UNA CURVA 1.3 INTEGRAL DEFINIDA 1.4 PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA 1.5 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO

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RECAPITULACIÓN ACTIVIDADES DE CONSOLIDACIÓN AUTOEVALUACIÓN ACTIVIDADES DE GENERALIZACIÓN BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA

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INTRODUCCIÓN

Antes de estudiar Cálculo Integral podíamos calcular áreas de figuras regulares, como el cuadrado, rectángulo, triángulo, etc., ahora tendrás la posibilidad de calcular el área de figuras irregulares como las siguientes:

Figura 1.

El método para encontrar el área de estas figuras se conoce como método de exahución. Definir el área para figuras geométricas en general,implica un proceso de límite. Obtendrás aproximaciones de los resultados de problemas que impliquen sumas infinitas, calcularás el área exacta bajo una curva para establecer la Integral Definida y concluirás con el Teorema Fundamental de Cálculo.

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PROPÓSITO

El problema básico de la derivación es: dado el recorrido de un punto móvil, calcular su velocidad, o bien, dada una curva,calcular su pendiente. El problema básico de la integración es el inverso: dada la velocidad de un punto móvil en cada instante, hallar su trayectoria, o bien, dada la pendiente de una curva en cada uno de sus puntos, calcular la curva. Hans Hahn (1897-1934)

El contenido de este fascículo pretende que al finalizar su estudio: A obtener el área bajo la gráfica de una función f(x) en un intervalo devalores [a,b], estimar áreas por métodos numéricos, el concepto de integral definida, sus propiedades y relación con la derivada, además del Teorema Fundamental del Cálculo.

¿QUÉ APRENDERÁS?

¿CÓMO LO APRENDERÁS?

Por medio del desarrollo y solución de problemas en los que se requiera conocer el resultado acumulado de procesos de cambio y situaciones problemáticas en rectángulos.

¿PARAQUE TE VA A SERVIR?

Para resolver problemas cuya solución esté dada por el cálculo de integrales definidas.

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CUESTIONAMIENTO GUÍA

Desde épocas remotas el hombre se enfrentó al problema de la cantidad y la medida, sobre todo de medir longitudes, áreas y volúmenes. Cuando estas longitudes eran segmentos de rectas o una sucesión finita de dichos segmentos, el problema de medir sulongitud no representaba gran dificultad. B D

A

G

C F
Figura 2.

E

Análogamente, cuando se quería medir áreas de polígonos, aunque fueran irregulares, el problema se resolvía dividiendo el polígono regular en triángulos –esto demuestra que siempre lo podemos hacer−, y calculada el área de cada triángulo, se decía que el problema estaba resuelto.

Figura 3.

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De la mismamanera, nuestros antepasados podían calcular con extraordinaria exactitud el volumen de cuerpos cuyas fronteras (caras) fueran superficies planas (polígonos), como paralelepípedos, pirámides, etcétera.

Figura 4.

Estos conocimientos se aplicaron de manera excepcional en la construcción de grandes obras que hoy nos sorprenden. Pero no solamente en la construcción se tiene dicho conocimiento sinotambién en muchas otras ramas del saber humano, como el conocimiento del movimiento de los astros. Sin embargo, calcular la longitud de una línea cuando ésta es curva, o encontrar el área de una región determinada por una curva cerrada o encontrar el volumen de un cuerpo cuya superficie ya no es plana sino curva, constituyó un verdadero reto en la Antigüedad. Un problema famoso característico es...