Calculo

UNIDAD 1
INTEGRAL INDEFINIDA
En cálculo infinitesimal, la función primitiva o antiderivada de una función f es una función F cuya derivada es f, es decir, F ′ = f.
Una condición suficiente para que una función f admita primitivas sobre un intervalo es que sea continua en dicho intervalo.
Si una función f admite una primitiva sobre un intervalo, admite una infinidad, que difieren entre sí enuna constante: si F1 y F2 son dos primitivas de f, entonces existe un número real C, tal que F1 = F2 + C. A C se le conoce como constante de integración. Como consecuencia, si F es una primitiva de una función f, el conjunto de sus primitivas es F + C. A dicho conjunto se le llama integral indefinida de f y se representa como:
   ó   
El proceso de hallar la primitiva de una función se conocecomo integración indefinida y es por tanto el inverso de la derivación. Las integrales indefinidas están relacionadas con las integrales definidas a través del teorema fundamental del cálculo, y proporcionan un método sencillo de calcular integrales definidas de numerosas funciones.

Integral Definida
Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentosAoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestra en la figura
De esta manera la superfie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos D S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento paralograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puede aplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que:
D A =½(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se tiene
D A =½(f(x) + f(x+D x))
D x
y al evaluar el límite cuando D x tiende a cero:
Lim D A=Lim ½(f(x) + f(x+D x)) =½(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0).
D x
Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una función primitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).
Para determinar D A, bastará calcular f(x+D x)dx - f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx y que es igual a F(x+D x)- F(x).
Ejercicios:
xn dx = xn+1n+1 + c
x dx = x22 + c
x2 dx = x33 + c
x3 dx = x44 + c
x4dx = x55 + c
x5 dx = x66 + c

Integral Definida: función del incremento del área bajo la curva:
Imaginemos la representación gráfica de la función y= f(x), donde se han trazado los segmentos AoA1 y MM1 que definen la superficie S de área A. Desplacemos el segmento en M una distancia infinitesimal; supongamos que se mueve hasta el punto N, desde donde levantamos el segmento NN1, como se muestraen la figura
De esta manera la superfie S se incrementa en la superficie definida por MM1N1N, que denominaremos D S, cuya área la denotaremos con D A (se ha exagerado el desplazamiento para lograr mayor comprensión)
Si identificamos la abscisa del punto M con x y el incremento de M a N con D x, al ser éste un infinitésimo podemos considerar que el segmento M1N1 está sobre una recta y puedeaplicar la fórmula A=½ S(rarb) d(rarb). Por lo que:
D A =½(f(x) + f(x+D x)) D x, y dividiendo por D x se tiene
D A =½(f(x) + f(x+D x))
D x
y al evaluar el límite cuando D x tiende a cero:
Lim D A =Lim ½(f(x) + f(x+D x)) =½(2f(x)) =f(x) (D x tiende a 0).
D x
Luego, f(x) es la derivada del área; lo que nos indica que el área es una función primitiva de f(x); la que denotaremos con F(x).
Paradeterminar D A, bastará calcular f(x+D x)dx - f(x)dx lo que se escribe: f(x)dx y que es igual a F(x+D x)- F(x).

Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.

2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.

3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida...