calculo

PROPIEDADES DE LOS LIMITES
Teorema. Si el límite de una función existe, entonces es único.
Este teorema es válido en espacios topológicos Hausdorff.[]
Supóngase que y también que siendo L y L' distintos; se debe de comprobar que no puede ser que verificándose la definición de límite. Para ello se toma un entorno E de L y un entorno E' de L' que no se intersequen. Por definición de límitepara todo x en algún entorno agujereado de c, por lo que no puede estar en E', evitando que el límite sea L'.


Propiedades generales
Si f(x) y g(x) son funciones de variable real y k es un escalar, entonces, se cumplen las siguientes propiedades:
Límite de
Expresión
Una constante

La función identidad

El producto de una función y una constante

Una suma

Una resta

Un productoUn cociente

Una potencia

Un logaritmo

El número e

Función f(x) acotada y g(x) infinitesimal
.

Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):


Operación


Indeterminación
Sustracción

Multiplicación

División

Elevación a potenciaEjemplo.
0/0 es una indeterminación, es decir, no es posible, a priori, saber cuál es el valor de un límite que tiende a cero sobre otro que también tiende a cero ya que el resultado no es siempre el mismo. Por ejemplo:



Regla de l'Hôpital
Esta regla hace uso de la derivada y tiene un uso condicional. Ésta sólo puede usarse directamente en límites que son «igual» a 0/0 o a ±∞/±∞. Otrasformas indeterminadas requieren alguna manipulación algebraica, por lo general, establecer que el límite es igual a y, tomar el logaritmo natural en ambos miembros, y entonces aplicar la regla de l'Hôpital.

Por ejemplo:

Límites trigonométricos
1.
2.
3.
4.
Demostraciones
Algunas demostraciones, por ejemplo, el segundo de estos límites trigonométricos, se utilizará la inecuaciónsin(x) < x < tan(x) en el intervalo (0, π/2), que relaciona x con las funciones seno y tangente. Luego dividimos por sin(x), obteniendo:

Invirtiendo los términos de la inecuación y cambiando los signos de desigualdad:

Calculando el límite cuando x tiende a 0:

Lo que es igual a:

Aplicando el teorema del sándwich o teorema de estricción, el límite necesariamente vale 1:

El tercero de loslímites se demuestra utilizando las propiedades de los límites y el valor obtenido en el límite anterior. Es decir:

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION
Función continua
«Continua» redirige aquí. Para otras acepciones, véase continuo.
En matemáticas, una función continua es aquella para la cual, intuitivamente, para puntos cercanos del dominio se producen pequeñas variaciones en los valores de lafunción. Si la función no es continua, se dice que es discreta. Una función continua de en  es aquella cuya gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz del papel (más formalmente su grafo es un conjunto conexo).
La continuidad de funciones es uno de los conceptos principales de la topología. El artículo describe principalmente la continuidad de funciones reales de una variable real.Funciones reales de una variable real[editar · editar fuente]

Informalmente hablando, una función f definida sobre un intervalo I es continuasi la curva que la representa, es decir el conjunto de los puntos (x, f(x)), con xen I, está constituida por un trazo continuo, es decir un trazo que no está roto, ni tiene "hoyos" ni "saltos", como en la figura de la derecha.
El intervalo I de x es el dominiode definición de f, definido como el conjunto de los valores de x para los cuales f(x) existe.
El intervalo J de y es el rango (también conocido como imagen) de f, el conjunto de los valores de y, tomados como y = f(x). Se escribe J = f(I). Notar que en general, no es igual que el codominio (sólo es igual si la función en cuestión es suprayectiva.)
El mayor elemento de J se llama el máximo...