Calculo

Ley de tricotomía.
En particular, en los números reales, además de las propiedades de producto y suma (que en este conjunto son cerradas), se puede destacar una propiedad de vitalimportancia para la matemática, que es el orden. En otras palabras  es un conjunto ordenado (tiene un orden). Es decir, si  y  pertenecen a, entonces se puede decir si laafirmación  es verdadera o no. de forma precisa se puede decir que para cada  y   en  se cumple una y sólo una de las siguientes afirmaciones
 ;  ;  .
Nótese que una consecuencia inmediata deesta ley, es que si, entonces  es distinto de . Dicho de otra forma, no existe ningún número real  tal que 
Densidad |
Dados dos números reales diferentes  y  , supromedio  esta comprendido entre  y . Por lo tanto, entre dos números reales sin importar lo cercano que se encuentren, hay una infinidad de números reales. Esto implica que dado un númeroreal cualquiera  no tienen sentido expresiones tales como " el número real siguiente a " o " el número real anterior a".
Axioma del supremo
En la parte anterior vimos que hayconjuntos acotados superiormente que no poseen máximo. En estos casos como en el ejemplo del intervalo (−∞, 5), el candidato a ser máximo era 5, pero este no pertenecía al conjunto.
Sinembargo nuestra intuición nos dice que todo conjunto acotado superiormente posee supremo. De hecho, La única forma que un conjunto no posea supremo parece ser, que no sea acotado.Sin embargo esta intuición no se puede deducir de las propiedades de los reales, por lo tanto lo tenemos que agregar como axioma.

Transitividad.
Cuando se cumple: siempre que unelemento se relaciona con otro y éste último con un tercero, entonces el primero se relaciona con el tercero.
Dados a; b; c 2 R si
a > b y b > c entonces a > c