Calculo

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CUARTO PARCIAL DE CALCULO 3 FACULTAD DE INGENIERIA
Profesor: Fecha: Yeison Ranirez Miercoles, 26 de Marzo de 2008 Grupo: Valor: 9 25 %Nombres y Apellidos:

Carn´: e

El examen consta de 4 ejercicios cada uno con valor de 1,25. Justifique correctamente todos susresultados, respuestas o afirmaciones sin justificar no tienen calificacion. La interpretacion del examen hace parte de la prueba, por lo tantono se responden preguntas durante la prueba. 1. Determine si el campo F = (4x3 +9x2 y 2 )ˆ i+(6x3 y +6y 5 )ˆ es conservativo, si lo esdetermine una funci´n j o de potencial para F. Para el campo dado calcule la integral c F(r) • dr mediante dos trayectorias diferentes queunan los puntos (−2, 5) y (1, 3). 2. Sea S una regi´n s´lida con una masa puntual M que contiene el origen en su interior, y cuyo campoo o r asociado esta dado por F = −cM u, donde u = ||r|| , pruebe que el flujo de F atrav´s de ∂S es −4πcM e ||r||2 para cualquier regi´nS. o 3. Sea F =
y x2 +y 2

ˆ− i
∂N ∂x c

x x2 +y 2

ˆ j

a) Pruebe que b) Pruebe que

=

∂M ∂y .

M dx + N dy = −2π dondeC es el circulo unitario con centro en el origen.

c) Por que esto no contradice el teorema de Green? ˆ 4. Verifique el teorema deStokes para F = yˆ − xˆ + yz k si S es el paraboloide z = x2 + y 2 con la i j 2 2 circunferencia x + y = 1, z = 1 como su frontera.

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