Calculo

El paso al l´ ımite Funciones derivables Aplicaciones de la derivada Integral de Riemann Funciones de varias variables Aplicaciones de la diferencial

´ CALCULO. Ingenier´ electr´nica y mec´nica. ıa o a
Ruym´n Cruz-Barroso. U.N.E.D. La Laguna, Tenerife. a
Departamento de An´lisis Matem´tico, Universidad de La Laguna, Tenerife. a a Department of Computer Science, K.U.Leuven., Belgium.Universidad Nacional de Educaci´n a Distancia, La Laguna, Tenerife. o rcruzb@ull.es, ruyman.cruzbarroso@cs.kuleuven.be, rcruz@la-laguna.uned.es

Ruym´n Cruz-Barroso. U.N.E.D. La Laguna, Tenerife. a

´ CALCULO PARA INGENIEROS, rcruzb@ull.es

El paso al l´ ımite Funciones derivables Aplicaciones de la derivada Integral de Riemann Funciones de varias variables Aplicaciones de la diferencial 1 2Preliminares Sucesiones Series L´ ımites y continuidad Sucesiones y series de funciones

Diversos conjuntos num´ricos: N, Z, Q, I, R y C. e Operaciones con conjuntos: Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}.
Uni´n: A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ´ x ∈ B} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. o o Intersecci´n: A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A y x ∈ B} = {3, 4}. o

3

Seg´n lo anterior: Q ∪ I = R y Q ∩ I = φ (conjunto vac´ el uıo, formado por ning´n elemento). u x si x ≥ 0, Valor absoluto: |x| = −x si x < 0. Ejemplo: |5| = 5 y | − 3| = 3. Propiedades:
Distancia entre dos puntos (en la recta): |x − y |. |x| = 0 ⇔ x = 0. Desigualdad triangular: |x + y | ≤ |x| + |y |. ||x| − |y || ≤ |x − y |.

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El paso al l´ ımiteFunciones derivables Aplicaciones de la derivada Integral de Riemann Funciones de varias variables Aplicaciones de la diferencial 1 2

Preliminares Sucesiones Series L´ ımites y continuidad Sucesiones y series de funciones

Diversos conjuntos num´ricos: N, Z, Q, I, R y C. e Operaciones con conjuntos: Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}.
Uni´n: A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ´ x ∈ B} = {1, 2, 3, 4, 5,6}. o o Intersecci´n: A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A y x ∈ B} = {3, 4}. o

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Seg´n lo anterior: Q ∪ I = R y Q ∩ I = φ (conjunto vac´ el u ıo, formado por ning´n elemento). u x si x ≥ 0, Valor absoluto: |x| = −x si x < 0. Ejemplo: |5| = 5 y | − 3| = 3. Propiedades:
Distancia entre dos puntos (en la recta): |x − y |. |x| = 0 ⇔ x = 0. Desigualdad triangular: |x + y | ≤ |x| + |y |. ||x| − |y || ≤ |x − y|.

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El paso al l´ ımite Funciones derivables Aplicaciones de la derivada Integral de Riemann Funciones de varias variables Aplicaciones de la diferencial 1 2

Preliminares Sucesiones Series L´ ımites y continuidad Sucesiones y series de funciones

Diversos conjuntos num´ricos: N, Z, Q, I, Ry C. e Operaciones con conjuntos: Sean A = {1, 2, 3, 4} y B = {3, 4, 5, 6}.
Uni´n: A ∪ B = {x ∈ R / x ∈ A ´ x ∈ B} = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. o o Intersecci´n: A ∩ B = {x ∈ R / x ∈ A y x ∈ B} = {3, 4}. o

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Seg´n lo anterior: Q ∪ I = R y Q ∩ I = φ (conjunto vac´ el u ıo, formado por ning´n elemento). u x si x ≥ 0, Valor absoluto: |x| = −x si x < 0. Ejemplo: |5| = 5 y | − 3| = 3. Propiedades:Distancia entre dos puntos (en la recta): |x − y |. |x| = 0 ⇔ x = 0. Desigualdad triangular: |x + y | ≤ |x| + |y |. ||x| − |y || ≤ |x − y |.

Ruym´n Cruz-Barroso. U.N.E.D. La Laguna, Tenerife. a

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Intervalos: (a, b), [a, b], (a, b] y [a, b), con −∞ ≤ a < b ≤ ∞. Punto medio (centro): c = a+b , si a y b son finitos. 2 Radio del intervalo: r = b−a . 2 Cota superior: para un conjunto A, un n´mero c que cumple u a ≤ c para todo a ∈ A. Puede darse tanto c ∈ A como c ∈ A. A se dice que est´ acotado...