calculo

Cuestionario de cálculo vectorial
Examen del primer parcial
Preguntas:

1. Teoría.

Algebra de vectores
Operaciones con vectores.- Las operaciones de adición o suma, diferencial o resta, multiplicación o producto entre números reales o escalares se los puede definir de los siguientes pasos:
1) Dos vectores A y B son equipolentes, si tienen el mismo modulo, la misma dirección e idénticosentido. Si adema tienen el mismo origen o punto de aplicación.
2) Tanto la equipolencia como l igualdad entre vectores dados los representaremos por A=B. Geométricamente se reconoce que dos vectores son equipolentes, si el polígono que resulta al unir orígenes por una parte, y si sus extremos por otro es un paralelograma.

A
B


3) Dado un vector A, el opuesto –A, es el que tiene elmismo modulo y dirección pero sentido contrario.
A
B

4) Suma o resultante de dos vectores A y B es otro vector obteniendo, trasladando el origen de B extremo de A y uniendo origen de A con el extremo de B.
A B
A B
C= A+B
5) La diferencia de los vectores A y B que se representa analíticamente por A-B, es otro vector, tal que sumando a B produce el vector A.C= A –B = A + (-B)
La diferencia de vectores es un caso particular de la suma. En caso que A=B, el vector A-B se llama vector nulo o cero y se representa por 0.
6) El producto de un escalar m por un vector A es otro vector mA, de la misma dirección que A, pero con un módulo |m| veces el de A y en sentido igual u opuesto al de A según que el escalar m sea positivo o negativo.
Si m=0 mA, elvector es nulo

2. Ejercicios.

1) Sean a(2,-1,3), b(3,0,-2) y c(-2,-2,1), realiza las siguientes operaciones con vectores:
a) 3a + b - c
b) a -2b
c) a·c
a) 3・(2,-1,3) + (3,0,2) - (-2,-2,1) = (6,-3,9) + (3,0,2) - (-2,-2,1) = (11,-1,10)
b) (2,-1,3) - 2(3,0,2) = (2,-1,3) - (6,0,4) = (-4,-1,-1)
c) (2,-1,3)・(-2,-2,1) = 2・(-2) + (-1)・(-2) + 3・1 = 1

2)Halla k para que los vectores a(-3,k,2),b(4,1,0) y c(-1,2,-1) sean coplanarios.

Para que sean coplanarios, el determinante formado por los tres vectores debe valer cero (que sean
coplanarios significa lo mismo que "no forman una base")
| -3 k 2 |
| 4 1 0 | = (3 + 8 + 0) - (-2 -4k + 0) = 11 + 2 + 4k = 13 + 4k
| -1 2 -1 |
13 + 4k = 0 --> k = -13/4
3)Un vector tiene de componentes (5, −2). Hallar las coordenadas de A si se conoceel extremo B(12, −3).

4)Calcula las coordenadas de C para que el cuadrilátero de vértices: A(-3, -4), B(2, -3), D(3, 0) y C; sea un paralelogramo.



3. Funciones de varias variables.

Para determinar la velocidad o el ritmo de cambio de una función de varias variables respecto a una de sus independientes se utiliza el proceso de derivación parcial.
Derivadas parciales de una función dedos variables.
Si Z=f(x,y), las primeras derivadas parciales de f con respecto a las variables “x” e “y” sean las funciones definidas como:


h->x

h->x

Siempre y cuando el límite exista.
La definición indica que para calcular se considera constante derivando con respecto a “x” y para calcular se considera x constante con respecto a “y”. Puedenaplicarse por tanto las reglas usuales de derivación.

4. Derivadas Parciales.

En resumen, las derivadas parciales es derivar respecto a una variable.
Ejemplo: si existe F(x,y), entonces la derivada parcial sería la derivada parcial respecto de x y también la derivada parcial respecto de y. Si existieran más variables, se sigue derivando de la misma manera dependiendo el número de variables queexistan en la función.
Si , las primeras derivadas parciales de respecto de x e y son las funciones definidas como




siempre que el límite existe.


5. ¿Qué son los límites?

El límite de una función en un punto x, examina el comportamiento de los valores de la función f(x), cuando los valores x veamos el siguiente ejemplo:
Sea se requiere saber el comportamiento de la función...