Calculo

Orígenes del Cálculo Diferencial e Integral II.
El nacimiento del Cálculo: Newton y Leibniz.

Historia del Análisis Matemático

Sir Isaac Newton

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Nació el 4 de enero de 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire (Reino Unido). Murió el 31 de marzo de 1727 en Londres (Reino Unido).

Gottfried Wilhelm von Leibniz

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Nació el 1 de julio de 1646 en Leipzig (ahora Alemania). Murió el 14de noviembre de 1716 en Hannover, (Alemania).

Los inventores del Cálculo
En el último tercio del siglo XVII, Newton (en 1664 - 1666) y Leibniz (en 1675) inventaron el Cálculo (de forma independiente):

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Unicaron y resumieron en dos conceptos generales, el de integral y derivada, la gran variedad de técnicas diversas y de problemas que se abordaban con métodos particulares.Desarrollaron un simbolismo y unas reglas formales de cálculo que podían aplicarse a funciones algebraicas y trascendentes, independientes de cualquier signicado geométrico, que hacía casi automático, el uso de dichos conceptos generales.

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Reconocieron la relación inversa fundamental entre la derivación y la integración.

Newton llamó a nuestra derivada una uxión  una razón de cambio o ujo;Leibniz vio la derivada como una razón de diferencias innitesimales y la llamó el cociente diferencial. Newton hizo sus primeros descubrimientos diez años antes que Leibniz quien, sin embargo, fue el primero en publicar sus resultados.

Newton y el cálculo de uxiones
Los principales descubrimientos matemáticos de Newton en el campo del cálculo innitesimal datan de los llamados Anni Mirabiles1665 y 1666. La Universidad de Cambridge, en la que Newton se había graduado como bachelor of arts en 1664, estuvo cerrada por la peste esos dos años. Newton pasó ese tiempo en su casa de Woolsthorpe y, como él mismo reconoció cincuenta años después, ése fue el período más creativo de su vida. A principios de 1665 descubre el teorema del binomio y el cálculo con las series innitas. A nales deese mismo año, el método de uxiones, es decir, el cálculo de derivadas. En 1666 el método inverso de uxiones y la relación entre cuadraturas y uxiones. En esos dos años también inició las teorías de los colores y de la gravitación universal. Newton tenía 24 años. Newton desarrolló tres versiones de su cálculo. En la obra De Analysi per aequationes numero terminorum innitas, que Newton entregó asu maestro Barrow en 1669, y que puede considerarse el escrito fundacional del Cálculo, Newton usa conceptos innitesimales de manera similar a como hacía el propio Barrow. Una segunda presentación del Cálculo es la que realiza Newton en el libro Methodus uxionum et serierum innitorum, escrito hacia 1671 y que se publicó mucho después en 1736. Newton considera cantidades variables que vanuyendo con el tiempo, a las que llama uentes . Después se introducen las razones de cambio instantáneas de las uentes, a las que

llama uxiones , que son las derivadas respecto al tiempo de las uentes. Newton representaba

˙ ˙ ˙ x, y, z, . . . y a las segundas por letras punteadas x, y, z, . . . . Los incrementos de las uentes x, y, z, . . . , los representa por medio de las correspondientesuxiones ˙ ˙ ˙ en la forma xo, yo, zo, . . . , y los llama momentos , donde o es entendido como un incremento
a las primeras por letras innitesimal de tiempo. Newton desarrolló una serie de algoritmos y redujo muchos problemas como determinación de tangentes, máximos y mínimos, áreas y supercies, curvaturas, longitudes de arcos, centros de gravedad etc., a dos problemas fundamentales quepueden formularse tanto en términos mecánicos como en términos matemáticos:

Problema 1 Problema 2
uxiones.

Determinación de la velocidad de movimiento en un momento de tiempo dado

según un camino dado. De otro modo: dada la relación entre las cantidades uentes, determinar la relación de las uxiones. Dada la velocidad de movimiento, determinar el camino recorrido en un tiempo

dado....