Calculo

INTEGRALES DE FUNCION DE SENO Y COSENO


Las integrales racionales de seno y coseno son de la forma:

∫▒〖R (senx,cosx)〗
donde R es una función racional.

Para el cálculo de este tipo deintegrales, se debe de transformar en integrales de funciones racionales de una sola variable “z”, mediante la:


SUSTITUCION UNIVERSAL






Sabemos por ángulo doble que:

cos⁡x= 〖cos〗^2(x/2)-〖sen〗^2 (x/2)

De ello trataremos de formar (*):

cos⁡x=〖cos〗^2 (x/2)[1-(〖sen〗^2 (x/2))/(〖cos〗^2 (x/2) )]


cos⁡x=〖cos〗^2 (x/2)[1-〖tan〗^2 (x/2) ]


cos⁡x=(1-〖tan〗^2 (x/2))/(〖sec〗^2(x/2) )

cos⁡x=(1-〖tan〗^2 (x/2))/(1+〖tan〗^2 (x/2) )
Entonces, reemplazando (*), tenemos:






De la expresión anterior se puede obtener el siguiente triángulo rectángulo:


1+z^2 a

x1-z^2

Para hallar “a” aplicamos Pitágoras:

a^2=(1+z^2 )^2-(1-z^2 )^2
a^2=4z^2
a=2z


Entonces:





Ahora de (*) tenemos que:

x/2=〖arc tan〗⁡z

x=2〖arc tan〗⁡z,derivando:EJERCICIOS RESUELTOS



I=∫▒(sen⁡x dx)/(1+sen⁡x )


Aplicamos un artificio, restamos y sumamos 1 asen⁡x/(1+sen⁡x ), entonces:

sen⁡x/(1+sen⁡x )-1+1 = ( sen⁡x-1-sen⁡x)/(1+sen⁡x )+1= -1/(1+sen⁡x )+1 = 1-1/(1+sen⁡x )


Reemplazando en I :

I=∫▒(1-1/(1+sen⁡x ))dx=∫▒dx-∫▒dx/(1+senx)


Por sustitución universal:

I=x-∫▒(2dz/(1+z^2 ))/(1+2z/(1+z^2 )) = x-∫▒(2dz/(1+z^2))/((1+z^2+2z)/(1+z^2 ))

I=x-2∫▒〖dz/(z^2+2z+1) = x-2∫▒dz/(z+1)^2 〗

I=x-2∫▒〖(z+1)^(-2) dz〗
z+1=u → du=dz

I=x-2.u^(-1)/(-1) = x+2/(z+1)+c


Reemplazando “z” se obtiene:I=x+2/tan⁡〖(x/2)+1〗 +c




I=∫▒dx/(sen⁡x+cos⁡x )


Por sustitución universal

I=∫▒(2dz/(1+z^2 ))/(2z/(1+z^2 )+(1-z^2)/(1+z^2 )) = ∫▒(2dz/(1+z^2 ))/((2z+1-z^2)/(1+z^2 ))Simplificamos, factorizamos -1 y aplicamos un artificio, sumamos y restamos 2 al denominador de la integral:

I=-∫▒〖2dz/(z^2-2z-1+2-2) = -2∫▒dz/((z-1)^2-2)〗


I=-2∫▒dz/((z-1)^2-〖√2〗^2 )...