Calculo

UNIDAD TRES

ANÁLISIS DE LAS DERIVADAS Y SUS APLICACIONES

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD
ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS, TECNOLOGÍA E INGENIERIA
CONTENIDO DIDÁCTICO DEL CURSO: 100410 – CÁLCULO DIFERENCIAL

CAPÍTULO SEIS: FUNDAMENTACIÓN SOBRE LAS DERIVADAS
Lección 25: Principio Geométrico de la Derivada:
PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTE
La recta secante toca la curva endos puntos
La recta tangente toca la curva en un punto

Euclides: En sus estudios geométricos, este sabio de la antigüedad, consideraba la tangente
como la recta que tocaba a una curva circular en un punto. El problema era que se limitaba a
círculos y no consideraba otro tipo de curvas.

La tangente a un círculo en un punto dado, se construye definiendo
un punto P sobre la curva, así seforma el segmento OP, entonces la
recta perpendicular al segmento OP, se le llama recta tangente a la
curva en el punto P.

Arquímedes: Otro de los sabios de la antigüedad que se intereso por determinar ¿Cómo se
puede obtener la pendiente de una recta tangente de una curva en un punto dado? Los
intentos fueron parciales.
En la edad media con la aparición de la Geometría analítica, cuyogestor Renato Descartes
(1.596 – 1.659) se pudo obtener la tangente de ciertas curva como la parábola y la elipse, pero
dichos métodos fueron muy limitados y vagos como para poder aplicarlos en forma general. La
solución dada inicialmente se atribuye a Leibniz, quien trabajo en la determinación de la recta
tangente de una curva en un punto determinado.
El proceso que vamos a analizar se centra endeterminar la pendiente de la recta tangente en
un punto dado de cualquier curva que es la gráfica de la función y = f(x), la gráfica siguiente nos
ilustra dicho análisis.

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Como se observa en la gráfica, se presenta unarecta secante que pasa por los puntos P y Q.
Para hallar la recta tangente, hacemos que el punto P quede fijo y el punto Q se desplace por
la curva hasta llegar a P. Cuando P y Q coinciden, se obtiene la recta tangente en el punto P.
Para que esto ocurra, ∆x se va reduciendo; tendiendo a cero.

Por la definición dependiente:
Según la gráfica: y1 = f ( x)
Si reemplazamos:

m=

m=

y − y1∆y
=2
∆x
x 2 − x1

y y2 = f ( x + ∆x)

x1 = x y x2 = x + ∆x

∆y
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f ( x + ∆x ) − f ( x )
=
=
∆x
( x + ∆x ) − x
∆x

Para obtener la pendiente en el punto P, se debe hacer que ∆x → 0 y aplicar el límite al
cociente:

f ( x + ∆x ) − f ( x )
m = Lim
∆x → 0
∆x
De esta manera, se resuelve el problema de hallar la pendiente de la recta tangente en un
puntode una curva cualquiera.
Ejemplo 72:
Hallar la pendiente de la recta tangente de la curva f(x) = x2 + 4, en el punto P(1, 5)

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Solución:
Para hallar la pendiente solo se requiere calcular m, lo cual se puede haceraplicando la
expresión dada anteriormente:

(

h →0

m = Lim

)(

)

(

)

f ( x + h) − f ( x )
( x + h) 2 + 4 − x 2 + 4
x 2 + 2 xh + h 2 + 4 − x 2 − 4
= Lim
= Lim
h →0
h →0
h
h
h

m = Lim

(x

h →0

2

)

+ 2 xh + h 2 + 4 − x 2 − 4
2 xh + h 2
= Lim
= Lim(2 x + h ) = 2 x
h →0
h →0
h
h

Luego, para hallar la pendiente en el punto establecido, reemplazamos elvalor de x en la
ecuación obtenida.

m = 2x = 2 *1 = 2
Por consiguiente, la pendiente de la recta tangente a la curva dada en el punto P (1,5) es 2.
Ejemplo 73:
Hallar la pendiente de la recta tangente de la curva f(x) = 1/x, en el punto P (2, ½)
Solución:
Se calcula m, al igual que en el caso anterior:

1
1
−
m = Lim x + h x
h→0
h
Simplificando:

m = Lim
h→0

−1
−1
=2
x...