Calculo

(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

CÁLCULO VECTORIAL FUNCIONES VECTORIALES
Conceptos fundamentales Definición. Una función vectorial de variable vectorial es una n regla que asocia a cada punto " r " de una cierta región S ⊂ m un vector F r ∈ y se denota como

()

F :S∈

n

→

m

Al conjunto " S " de valores que toma la variable independiente, se le denominadominio y al conjunto de valores que toma F r se le llama imagen o recorrido. Las

()

funciones vectoriales se conocen también como campos vectoriales y aquí se clasificarán en: - Campos vectoriales de variable escalar - Campos vectoriales de variable vectorial Definición. Un campo vectorial de variable escalar es una función vectorial con dominio en los reales, es decir, cuando n = 1 . En dos ytres dimensiones se acostumbra representar como:
F: →
2

⇒

F (t ) = x (t ) i + y (t ) j

∧

∧

F:

→

3

⇒

F (t ) = x (t ) i + y (t ) j + z (t ) k

∧

∧

∧

Ejemplos de funciones vectoriales de variable escalar:
i)
ii )

F (t ) = t i + t

∧

3

∧

j
∧ ∧

F (θ ) = a (θ + senθ ) i + a (1 − cos θ ) j

2

iii )
iv )

F ( t ) = ( x 0 + at ) i + ( y 0 +bt ) j + ( z 0 + ct ) k
F ( v ) = a co s v i + b v j + a sen v k
∧ ∧ ∧

∧

∧

∧

Sus gráficas son las siguientes:

Cuando el dominio de la función vectorial es de dimensión mayor de uno, o sea, n > 1 se tiene el caso de funciones vectoriales de variable vectorial. Ejemplos de funciones vectoriales de variable vectorial:
i) F ( t , s ) = ( x0 + a1 s + a 2 t ) i + ( y 0 + b1 s + b2 t )j + ( z 0 + c1 s + c 2 t ) k
∧ ∧ ∧

ii )
iii )

F ( u , v ) = u cos v i + usenv j + u k
2

∧

∧

∧

F ( u , v ) = senu cos v i + senusenv j + cos u k

∧

∧

∧

Sus gráficas son las siguientes:
ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

3

Límites y continuidad de funciones vectoriales Definición. El límite de una función vectorial, cuando la variable

r∈

n

tiende al punto r0 ∈ , denotado como lim F r = I
n
r→ r
0

( )

existe sí y sólo si para ε > 0
F

(r ) − I

y δ > 0 se cumple que:
0

< ε siempre que 0 < r − r
n

< δ

Teorema. Sea F :

F r = ⎡ y1 r , y 2 r , ⎣

( )

→

m

definida por

( )

( )

, ym r ⎤ ⎦

( )

Entonces:
r→ r0

lim F r = ⎡ lim y 1 r , lim y 2 r , ⎢ r→ r0 r→ r0 ⎣

( )

( )

( )

, lim y m r ⎤ ⎥r→ r0 ⎦

( )

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4

Teorema. Propiedades. Sean

lim tales que r → r 0 F r = A
que:

()

F:

n

y

r →r 0

lim G r = B , entonces se cumple

()

→

m

y G:

n

→

m

i)
ii )

Si A existe, es único.
r→ r0

lim ⎡ k F r + G r ⎤ = k A + B ; k ∈ ⎣ ⎦ iii ) lim ⎡ F r ⋅ G r ⎤ = A ⋅ B ⎦ r→ r0 ⎣ iv) Para m = 3 ; lim ⎡ F r × G r ⎤ = A × B ⎦r→ r0 ⎣

() () ( ) ( )
A

( )

( )

v)

r→ r0

lim F

(r ) =

Ejemplo. Calcular

π ⎛ sen t ∧ 2 − ∧ ⎜ 2 i− t − 1 j+ e li m ⎜ t→1 1− t t ⎜ ⎝

1 t −1

⎞ ⎟ k ⎟ ⎟ ⎠
∧

Ejemplo. Calcular rlim F ( r ) si →r 0
⎛ x ⎞ ∧ x 2 − 2 xy + y 2 ∧ F ( x , y ) = xa n g tan ( xy ) i + ln ⎜ ⎟ j + k y⎠ x2 y − y3 ⎝
∧

;

r 0 = (1,1 )

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5

ContinuidadDefinición. Sea F :

→ m una función vectorial. Se dice que F es continua en r 0 ∈ n sí y sólo si se cumple que
n
r→ r

lim F
0

Definición. Se dice que F r es continua en r = r 0 si se cumple que
r→ r0

()

(r ) =

F

(r )
0

lim F r − F r 0

()

( )=0

o bien

∆ r→ 0

li m ∆ F = 0

Derivadas Definición. i ) Sea F :

→

m

una función vectorial de variable escalar" t " . Entonces se define a la derivada de F en t0 como:
d F (t ) F (t0 + ∆ t ) − F (t0 ) = lim ∆t → 0 dt ∆t (siempre que el límite exista)
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ii )

Sea F : n → m una función vectorial de variable vectorial r = ( x1 , x 2 , , x n ) , esto es, F ( r ) = F ( x1 , x 2 , , x n ) . Entonces se
la derivada
0 0
0 , x n ) como:

define

0 r 0 = ( x10 ,...