Calculo

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA
SECRETARÍA GENERAL
COORDINACIÓN DE PROGRAMAS DE ATENCIÓN DIFERENCIADA PARA ALUMNOS

COPADI PROBLEMARIO COPADI DE CÁLCULO DIFERENCIAL
COORDINADORES
ING. FRANCISCO BARRERA GARCÍA ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ ING. JORGE ALEJANDRO RANGEL RANGEL

ESTUDIANTES AUTORES
RHAMID H. RODRÍGUEZ DE LA TORRE DAISY TESSIE REYES CHÁVEZ RAÚLPULIDO MARTÍNEZ BOGDAD ROBERTO ESPINOSA VARGAS EDGAR ENRIQUE CÁRDENAS BÁRCENAS ALEJANDRO FELIX REYES GABRIEL CALDERÓN OCHOA DANIELA GARCÍA RUBÍ IRENE RUBALCABA MONTSERRAT RAFAEL LIMA GUERRERO HUGO MENDIETA PACHECO PABLO LORENZANA GUTIÉRREZ DANIELA GONZÁLEZ-RUBIO MENDOZA GABRIELA BERENICE VERA PADILLA RAFAEL ANDRÉS NOLASCO CASTREJÓN MARÍA PAULA DÁVILA MERCADO

JUNIO DE 2005
ESTA OBRA SE REALIZÓGRACIAS A LA DGAPA, A TRAVÉS DE UN PROYECTO PAPIME

PRÓLOGO
La Coordinación de Programas de Atención Diferenciada para Alumnos (COPADI) de la Facultad de Ingeniería de la UNAM, con algunos de los estudiantes del Programa de Alto Rendimiento Académico (PARA), y dentro de su Programa de Solidaridad Académica (PROSOLAC), se dio a la tarea de realizar sus PROBLEMARIOS COPADI. Cada uno considera unaserie de ejercicios resueltos de algunas de las asignaturas con mayor grado de dificultad para los estudiantes en la División de Ciencias Básicas. Estos ejercicios son planteados y resueltos por estudiantes del PARA, y revisados por nosotros. Los objetivos de estos PROBLEMARIOS COPADI son, entre otros los siguientes: Apoyar el desempeño académico de los estudiantes con ejercicios resueltos queles pueden ayudar a comprender y aprender los conceptos de que consta el programa de la asignatura, en este caso, CÁLCULO DIFERENCIAL, y poder así acreditarla y seguir adelante en sus estudios de ingeniería. Reafirmar los conocimientos de los estudiantes autores en asignaturas que ya acreditaron. Producir material didáctico para la Facultad, como un compromiso de los estudiantes del PARA. Esimportante comentar que este Problemario consta de 320 ejercicios de los temas de CÁLCULO DIFERENCIAL y, además de que se ha revisado el material, se ha pretendido dejar los ejercicios y sus enunciados tal como los hicieron y plantearon los estudiantes, ya que básicamente se trata de una publicación realizada por estudiantes y dirigida a estudiantes. Y esto es lo que le da carácter a la publicación. Sóloen ciertos casos tuvimos que incluir ejercicios cuando se consideró que hacían falta para cubrir un determinado tema. Hay ejercicios de Funciones (66), Límites y continuidad (76), La derivada y algunas de sus aplicaciones (78), Variación de funciones (máximos y mínimos) (45) y Sucesiones y series (60). Agradecemos la entusiasta ayuda de la Lic. Ana María Vieyra Ávila para el logro de esta obra,con sus labores de seguimiento, organización y convocatoria de los estudiantes autores. Es nuestro mejor deseo que este trabajo sea de utilidad para los estudiantes que cursan Cálculo Diferencial y que también sea motivo de genuino orgullo para los estudiantes que participaron en su realización, así como lo es para nosotros. Ing. Francisco Barrera García Ing. Pablo García y Colomé Ing. Jorge A.Rangel Rangel

ÍNDICE

Tema

Página

Funciones

1

Límites y continuidad

54

La derivada y algunas de sus aplicaciones

92

Variación de funciones

130

Sucesiones y series

170

1

FUNCIONES
1. Trazar la gráfica de la función f dada por f ( x ) = 3 − x 2 . ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de f ? Solución. La función dada es una parábola cuya ecuación se escribecomo: el punto y − 3 = − x 2 . Su vértice está en

( 0,3 ) , abre hacia abajo y su eje de simetría es el eje
y

" y " . Su gráfica es:

3

y = 3 − x2

x

Su dominio es: D f =

y su recorrido es: R f = ( −∞ ,3 ] ALUMNA: REYES CHAVEZ DAISY TESSIE

2. Dada la función

g ( x ) = 5( x − 2) 2 − 4 , determinar su dominio, recorrido y gráfica.

Solución. Si se analiza esta función...