Calculo

7

Espacio métrico

1. Distancia entre puntos y rectas en el espacio
■ Piensa y calcula
Dados los puntos A(3, – 4, 1) y B(5, 1, 4), halla las coordenadas del vector: AB Solución: 8 AB(2, 5, 3)
8

● Aplica la teoría
1. Calcula la distancia que hay entre los puntos:
A(1, – 2, 3) y B(4, 5, – 7) Solución: d(A, B) = √ (x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2 AB(3, 7, – 10) d(A, B) = √ 32 + 72 +(–10)2 = 12,57 unidades.
8

3. Calcula la distancia existente entre las rectas:
°x = 2 § r ~ ¢y = 1 + t ; t é §z = – 2 – t £ Solución: d(r, s) = |[AB, u , v ]| 8 8 |u Ò v |
8 8 8

° x+z=4 s~¢ £2y + z = 5

2. Halla la distancia entre el origen de coordenadas y la recta intersección de los planos de ecuaciones respectivas: x + y + 2z = 4 2x – y + z = 2 Solución: |AP Ò v | d(P, r) = 8 |v |P(0, 0, 0) A(0, 0, 2) ér AP(0, 0, 2) Vector director de la recta r
8 8 8 8

A(2, 1, –2) ér B(3, 2, 1) és AB(1, 1, 3) 8 8 u (0, 1, – 1), v (–2, –1, 2) [AB, u , v ] =
8 8 8 8

|

1 1 3 0 1 –1 = 9 ≠ 0 –2 –1 2

|

8

Las rectas r y s se cruzan. 8 u Ò v (1, 2, 2) |9| 9 d(r, s) = = = 3 unidades. 2 + 22 + 22 √1 √9

4. Calcula el plano mediador del segmento que tiene por
extremos lospuntos A(1, 4, 3) y B(5, 2, –1)
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v (3, 3, – 3)
8 8

AP Ò v = (– 6, 6, 0) |AP Ò v | = 6√ 2 |v | = 3√ 3 d(P, r) = 6√2 3√3 = 2 √ 6 = 1,63 unidades. 3
8 8 8

Solución: El punto medio del segmento es M(3, 3, 1)
8

n = AB(4, –2, –4) || (2, –1, –2) El plano es: 2(x – 3) – (y – 3) – 2(z – 1) = 0 2x – y – 2z = 1

8

214

SOLUCIONARIO

2. Distancia a un planoen el espacio
■ Piensa y calcula
Calcula mentalmente la distancia del punto P(0, 0, 5) al plano z = 0 Solución: d(P, π) = 5 unidades.

● Aplica la teoría
5. Calcula la distancia del origen de coordenadas al plano π determinado por los puntos: A(1, – 3, 1), B(2, 3, 1) y C(1, 3, – 1) Solución: |Ap1 + Bp2 + Cp3 + D| d(P, π) = √ A2 + B2 + C2 P(0, 0, 0) Determinación del plano π A(1, – 3, 1) éπ
88

d(P, π) = A(1, 2, 1) d(A, π) =

|Ap1 + Bp2 + Cp3 + D|

√ A2 + B2 + C2
|1 · 1 – 1 · 2 + 1 · 1 + 2| = |2| = 1,15 u

√ 12

+

(–1)2

+

12

√3

7. Halla la distancia que hay entre los planos:
3x – 2y + z + 5 = 0 4x + 3y – z – 7 = 0 Solución: Se estudia en primer lugar la posición relativa entre los dos planos: 3 –2 1 ? ? 4 3 –1 Los dos planos se cortan. Por tanto, ladistancia entre ellos es cero: d(π, π') = 0

u = AB(1, 6, 0) v = AC (0, 6, –2) || (0, 3, –1)
8

8

|

x–1 1 0

y+3 6 3

z–1 0 =0 –1 |6 · 0 – 1 · 0 – 3 · 0 – 6| |–6|

|

6x – y – 3z – 6 = 0 d(P, π) = + = 0,88 unidades.

√ 62

(–1)2

+

(–3)2

=

√ 46

=

6. Halla la distancia entre la recta:
z–1 x–1 =y–2= 2 –1 y el plano: π ~ x – y + z + 2 = 0 r~ Solución: Se estudia enprimer lugar la posición relativa entre la recta y el plano: 8 v (2, 1, – 1) 8 n (1, –1, 1) 8 8 v ·n=2–1–1=0 La recta y el plano son paralelos o la recta está en el plano. A(1, 2, 1) é r Se comprueba si el punto A está en el plano π 1–2+1+2=2?0 Como el punto A no está en el plano π, la recta y el plano son paralelos. Se calcula la distancia de un punto de la recta r al plano π

8. Calcula el planobisector de los planos:
2x – y + 2z + 3 = 0 6x + 2y – 3z – 5 = 0 Solución: Sea P(x, y, z) un punto genérico del plano bisector: d(P, π) = d(P, π') |2x – y + 2z + 3|

√ 22 + (–1)2 + 22

=

|6x + 2y – 3z – 5|

√ 62 + 22 + (–3)2

|2x – y + 2z + 3| |6x + 2y – 3z – 5| = 3 7 7|2x – y + 2z + 3| = 3|6x + 2y – 3z – 5| Del valor absoluto se obtienen dos soluciones: 7(2x – y + 2z + 3) = 3(6x + 2y– 3z – 5) 4x + 13y – 23z – 36 = 0 7(2x – y + 2z + 3) = –3(6x + 2y – 3z – 5) 32x – y + 5z + 6 = 0

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TEMA 7. ESPACIO MÉTRICO

215

3. Ángulos en el espacio
■ Piensa y calcula
Calcula mentalmente el ángulo que forma la recta x = 0, y = 0, con el plano z = 0 Solución: El ángulo que forma la recta con el plano es de 90°

● Aplica la teoría
9. Halla el...