Calculo

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El símbolo de la integral (una "S" alargada) que significa suma. Recordando que la integral es la suma de pequeños elementos.
[pic]Integral con el planteamiento de Riemann hace una suma basada en una partición etiquetada, con posiciones de muestreo y anchuras irregulares (el máximo en rojo). El verdadero valor es 3,76; la estimación obtenida es 3,648.

APLICACIONES DEL CALCULO INTEGRAL
-Determinación de áreas bajo la curva (de hecho esta es la interpretación geométrica de la integral), También se le conoce como integral definida.
INTEGRAL DEFINIDA O AREA BAJO LA CURVA
“Si en cualquier figura delimitada por rectas y por una curva; se inscriben y circunscriben rectángulos en número arbitrario, y si la anchura de tales rectángulos se va disminuyendo a la par que se aumenta su númerohasta el infinito, afirmo que las razones entre las figuras inscrita y circunscrita y la figura curvilínea acabarán siendo razones de igualdad”--- Isaac Newton.
El área, es un concepto familiar para todos nosotros, por el estudio de figuras geométricas sencillas como el triángulo, el cuadrado, el círculo y el rectángulo. La idea o el concepto que manejamos de área, es la magnitud que mide de algúnmodo el tamaño de una región acotada, es decir, cuanto mide una superficie. Ciertamente, para hallar el área de las figuras geométricas sencillas que ya conocemos, disponemos de formulas matemáticas que facilitan este cálculo.
Ahora, nuestro problema consiste en encontrar un método, que nos permita calcular el área de cualquier región, sin importar la forma que esta tenga. Para lograr esto, esnecesario primero introducir el símbolo o la notación de Sumatoria. Para representar esto, se una la letra griega mayúscula “sigma”, para abreviar la sumatoria, y se usa de este modo:
[pic]
y sus partes son:
a: representa los términos de la sumatoria
ak: representa el termino k-ésimo de la sumatoria
an: representa el termino n-ésimo y último de la sumatoria
k: es el índice de la sumatoria1: es el límite inferior de la sumatoria
n: es el límite superior de la sumatoria
[pic]
Gráfica 1.
Como habíamos mencionado anteriormente, nuestra preocupación ahora, es encontrar el área de cualquier superficie sin importar su forma. Supongamos que queremos hallar el área de la región comprendida entre el eje x, la recta x=a, la recta x=b y la gráfica de la función f(x) (Gráfica 1).
[pic]Gráfica 2.
Ahora, supongamos que tomamos la región y la dividimos en una serie de rectángulos de base x (Gráfica 2.). Si lográramos calcular el área de cada uno de esos rectángulos, y las sumáramos todas, obtendríamos una aproximación del área total de la región que deseamos.
Pero como ya vimos que esa sumatoria se puede reducir a una sola expresión, podríamos hacerlo de modo que, tomemos un valorxi, dentro del intervalo [a,b], tal que exista xi y un f(xi), de tal manera que se cumpla que:
[pic]
de esta manera se puede calcular el área de ese rectángulo así:
,
Puesto que el área de un rectángulo, como todos sabemos, es base por altura. Debido a que este rectángulo puede ser cualquier rectángulo dentro de la región, puesto que xi puede ser cualquier valor, ya podemos sumar sus áreaspara lograr la aproximación:
,
Donde esta sumatoria nos representa el área aproximada de la región que deseamos. Como ya habíamos visto que xi, representa cada una de las particiones de nuestra región, ahora definamos a P como la partición más grande de todas, es decir la base de rectángulo más grande de dotas las de la región y n el número de particiones. Así, si hacemos que P se haga tan pequeñocomo pueda o que el número de particiones n, se haga lo más grande que pueda, hallamos una mejor aproximación del área que buscamos (Gráfica 3).
[pic]
Gráfica 3.
De aquí podemos deducir que si hallamos el Límite cuando el número de rectángulos sea muy grande o cuando las longitudes de las bases de esos rectángulos sean muy pequeñas, lograremos la mejor y más exacta aproximación del área que...
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