Capítulo 5

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Capítulo 5 Teorema del Binomio
5.1. Factoriales
Definición 1 Sea 8 −   Ö!×Þ Vamos a definir inductívamente 8x (se lee 8 factorial) mediante "Ñ #Ñ Ejemplo 1 $x œ #x † $ œ "x † # † $ œ !x † " † # †$ œ " † # † $ œ ' 8x œ " † # † $ † † † † a8  "b † 8 8x œ a8  "bx † 8 œ a8  #bx † a8  "b8 œ "x † # † $ † † † † a8  #ba8  "b8 Ð8  "Ñx œ 8x a8  "b !x œ "

5.#. Coeficientes BinomialesDefinición 1 8 Sean 8 − ß 5 −   Ö!×Þ Se define el símbolo Š ‹ß (se lee " 8 sobre 5 ") mediante 5 Ú 8x 8 si 5 Ÿ 8 Š ‹ œ Û a8  5 bx 5x 5 Ü ! si 5  8 Ejemplo 1 & &x "†#†$†%†& œ œ "!, Œ œ $ #x $x "†#†"†#†$# Œ œ! $

8 8x œ "ß Š ‹œ ! 8x † !x

8 8x a8  "bx8 œ œ8 Š ‹œ " Ð8  "Ñx † "x a8  "bx Notación.

8 8x œ "ß Š ‹œ 8 !x † 8x

Tambien es usual denotar al coeficiente binomial ˆ 8 ‰ß por C8 5 58 8 † a8  "b † † † † a8  5  "b Š ‹œ 5 "†#†$ † † † † 5

Propiedad 1 a 5 Ÿ 8ß

Nótese que, en ésta fracción hay en el numerador 5 factores decrecientes a partir de 8ß y en el denominador, losmismos 5 factores crecientes a partir de "Þ Demostración. 8 8x " † # † $ † † † a8  5 ba8  5  "b † † † a8  "b8 œ Š ‹œ 5 a8  5 bx 5x " † # † $ † † † a8  5 b † " † # † $ † † † † 5 œ Ejemplo 2 & &†%†$œ "! Œ œ $ "†# † $ 8 † a8  "b † † † † a8  5  "b "†#†$ † † † † 5

5 5 a5  "b " œ 5 a5  "b Œ œ # "†# # Propiedad 2 8 8 1) Š ‹ œ Š ‹ 5 85 8 8 8" 2) Š ‹  Œ œŒ  5 5" 5" 8 8" 3) 5 Š ‹ œ 8Œ ß 5   " 5 5" Demostración. a 5  8ß 8 8x 8x 8 1) Š ‹ œ œ œŠ ‹ 5 a8  5 bx 5x Ò8  a8  5 bÓx a8  5 bx 85

8 8 8x 8x 2) Š ‹  Œ  œ 5 5" a8  5 bx 5x a8  5  "bx Ð5  "Ñx œ 8x œŒ

8 8x a8 "bx 8 3) 5 Š ‹ œ 5 œ5 5 a8  5 bx 5x a8  5 bx a5  "bx 5 œ8 a8  "bx 8" œ 8Œ  a8  5 bx a5  "bx 5"

8"  5"

5"85 8xa8  "b œ a8  5 bx Ð5  "Ñx Ò8  "  a5  "bÓx a5  "bx

a 5   8ßes inmediato. El cuadro de números que aparece a continuación se llama triángulo de Pascal, que, como veremos se puede expresar mediante los coeficientes binomiales. 1 1 1 1 1 1 5 4 10 3 6 10 ˆ!‰...
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