Causas u consecuencias

Microeconomía III

TAREA TEORIA DE JUEGOS APLICACIÓN A OLIGOPOLIOS NO COOPERATIVOS

EJERCICIO 1 (Gibbons 1.5)

Consideremos las dos versiones finitas siguientes del modelo de duopolio de Cournot. En primer lugar, supongamos que cada empresa debe elegir o la mitad de la cantidad de monopolio, , o la cantidad de equilibrio de Cournot,. No pueden darse otras cantidades. Demuéstrese que estejuego con dos alternativas es equivalente al dilema del prisionero: cada empresa tiene una estrategia estrictamente dominada, y ambas empresas están peor en equilibrio que si cooperasen. En segundo lugar, supongamos que cada empresa puede elegir o o ,ó una tercera cantidad Hállese un valor de ta1 que el juego sea equivalente al modelo de Cournot de la sección 1.2.A, en el sentido de que sea unequilibrio de Nash único y ambas empresas estén peor en equilibrio de lo que estarían si cooperasen, pero ninguna de ellas tiene una estrategia estrictamente dominada.

SOLUCIÓN
Definamos como el beneficio de la firma por jugar la estrategia cuando el competidor juega . Entonces:

Dividiendo los pagos entre , la matriz de pago será
| | |
| | |
| | |

Se observa que esestrictamente dominada por . Entonces, el juego es como el dilema del prisionero porque además la cantidad de Cournot, es la estrategia del único equilibrio de Nash.
La segunda parte de la pregunta requiere encontrar una cantidad tal que ninguna firma tenga una estrategia estrictamente dominada, y la cantidad de Cournot sea la única estrategia de equilibrio de Nash.

Sea Entonces

Despuésde dividir por , el juego en su forma normal será:
| | | |
| | | |
| | | |
| | | |

Por que sea un equilibrio de Nash, se requiere que:

Para no sea un equilibrio de Nash se requiere que
o

Después de los cálculos respectivos se puede demostrar que satisface esas condiciones.

EJERCICIO 2 (Gibbons 1.6)

Considere el modelo de duopolio de Cournot donde la curvainversa de la demanda es , pero las firmas tienen costos marginales asimétricos: para la firma 1 y para la firma 2. ¿Cuál es el equilibrio de Nash si para cada firma? Y cuál si pero ?

EJERCICIO 3 (Gibbons 2.5)

Hay 3 monopolistas que operan un mercado con una curva inversa de la demanda igual a , donde y es la cantidad producida por la firma . Todas las firmas tienen costos marginalesconstantes iguales a y no tienen costos fijos. Las firmas escogen cuanto producir de la siguiente manera: (1) la firma 1 escoge ; (2) las firmas 2 y 3 observan y escogen simultáneamente y , respectivamente. ¿Cuál será el resultado en subjuego perfecto?
i. La ganancia de una empresa es su beneficio, es decir las recetas menos los costes.
Cuando la empresa vende sus recetas son y suscostes son (el coste marginal es el coste derivado por las cantidades). Entonces, las ganancias de la empresa i son:

Del mismo modo, tenemos las ganancias de las empresas j y k respectivamente:

ii. Ahora calculamos el equilibrio perfecto en subjuegos. Supongamos que la empresa ya ha elegido de producir .
Cogemos por ejemplo la empresa k. Tenemos que derivar su función de ganancias respeto deqk y anular para tener su función de reacción:

Para la empresa j, su función de reacción es:

Ahora tenemos que calcular el equilibrio entre j y k del subjuego (cuando i ya ha jugado qi). Es decir, tenemos que calcular el qj y el qk de manera que las funciones de reacción de j y k se cruzan, considerando qi como un parámetro. Es decir, tenemos que solucionar el sistema siguiente:

Esto nosda:

Ahora, buscamos la estrategia de equilibrio de la empresa i. Esta empresa sabe que después de haber elegido qi las dos otras van a elegir . Entonces, para la empresa , es como tendríamos:

Ahora, las ganancias de son:

Buscamos el , que maximiza la ganancia de :

Entonces, tenemos los valores de y

EJERCICIO 4 (Gibbons 2.13)

Recuerde el modelo de duopolio de Bertrand (con...