Ciencia

Derivación Implícita
 
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita, como enla ecuación

dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x,viene definida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivadafácilmente: .
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para laecuación x2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivantérminos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:Aquí las variables coinciden: se deriva normalmente.
 
Ejemplo 2:
Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
 
Ejemplo 3:
Hallar , de la función implícita:Aplicando la notación , a cada término y extrayendo las constantes;
.
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de unproducto (primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
.
La regla de la cadena se aplica el término , como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,quitando paréntesis y ordenando los términos,
,
pasando algunos términos al lado derecho,

extrayendo el factor común ,

y finalmente despejando, obtenemos la respuesta requerida: