CIRCUITOS DE 2 ORDEN

Circuitos o Redes Eléctricas de 2do Orden.

Un circuito RLC es un circuito lineal que contiene una resistencia eléctrica, una bobina (inductancia) y un condensador (capacidad).
Existen dos tipos de circuitos RLC, en serie o en paralelo, según la interconexión de los tres tipos de componentes. El comportamiento de un circuito RLC se describen generalmente por una ecuación diferencial de segundoorden (en donde los circuitos RC o RL se comportan como circuitos de primero orden).
Con ayuda de un generador de señales, es posible inyectar en el circuito oscilaciones y observar en algunos casos el fenómeno de resonancia, caracterizado por un aumento del corriente (ya que la señal de entrada elegida corresponde a la pulsación propia del circuito, calculable a partir de la ecuación diferenciaque lo rige).

Circuito RLC en Series.


1.- Circuito sometido a un escalón de tensión:
Si un circuito RLC en serie es sometido a un escalón de tensión , la ley de las mallas impone la relación:

Introduciendo la relación característica de un condensador:

Se obtiene la ecuación diferencial de segundo orden:

Dónde:
E es la fuerza electromotriz de un generador, en voltios (V);uC es la tensión en los bornes de un condensador, en voltios (V);
L es la inductancia de la bobina, en henrios (H);
i es la intensidad de corriente eléctrica en el circuito, en amperios (A);
q es la carga eléctrica del condensador, en coulomb (C);
C es la capacidad eléctrica del condensador, en farads (F);
Rt es la resistencia total del circuito, en ohmios (Ω);
t es el tiempo ensegundos (s)

En el casos de un régimen sin pérdidas, esto es para , se obtiene una solución de la forma:



Dónde:
T0 el periodo de oscilación, en segundos;
φ la fase en el origen (lo más habitual es elegirla para que φ = 0)
Lo que resulta:

Donde es la frecuencia de resonancia, en hercios (Hz).


2.-Circuitos sometidos a una tensión sinusoidal
La transformación complejaaplicada a las diferentes tensiones permite escribir la ley de las mallas bajo la forma siguiente:

Siendo, introduciendo las impedancias complejas:

La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω0 es dada por:

Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:

y se obtiene:
 
Circuito RLC en Paralelo









Ya queLa rama C es un corto-circuito: no se pueden unir las ramas A y B directamente a los bornes de un generador E, se les debe adjuntar una resistencia.
Las dos condiciones iniciales son:
conserva su valor antes de la puesta en tensión (porque la inductancia se opone a la variación de corriente).
conserva su valor antes de la puesta en tensión .


1.- Circuito sometido a unatensión sinusoidal
La transformación compleja aplicada a las diferentes intensidades proporciona:

Introduciendo las impedancias complejas:
Siendo:

Siendo:

La frecuencia angular de resonancia en intensidad de este circuito ω0 es dada por:


Para esta frecuencia la relación de arriba se convierte en:

y se obtiene: 

Solución homogénea de los circuitos de segundo orden.

Los circuitos de segundo orden presentan una ecuación diferencial de segundo orden de allí el nombre de circuitos de segundo orden, la misma se representa de la siguiente forma:
g(t)=(Ad^2 x(t))/(dt^2 )+(Bd^2 x(t))/dt+cx(t)

Para resolver la ecuación diferencial, es necesario encontrar los modos naturales de oscilación del sistemamediante la solución de la ecuación característica de la expresión:
〖As〗^2+Bs+C=0

La ecuación característica puede ser resuelta utilizando la solución de la ecuación de segundo grado o cuadrática de la siguiente forma:

S_(1,2)=(-B±√(B^2-4AC))/2A
Los modos naturales de oscilación o la solución homogénea de la expresión depende de la forma de las raíces: s1, s2, estas raíces pueden ser de...