Clase de matematicas

CLASE 25-MAR-2004
LÍMITES Y CONTINUIDAD

CONCEPTOS BÁSICOS

La definición de límite para funciones de varias variables es similar a aquélla para funciones de una variable, pero con la salvedadde que los entornos tomados alrededor del punto donde queremos encontrar el límite serán ahora discos o bolas, de acuerdo a la dimensión del espacio de las variables.
Mientras que en funciones de unavariable hay sólo dos maneras de acercarnos a un punto del dominio —por derecha y por izquierda—, en funciones de varias variables hay infinitos caminos para acercarse a un punto del plano de lasvariables. Para que exista un límite, el mismo debe ser igual para todos los posibles acercamientos.
Igual que en funciones de una variable, para que una función de varias variables sea continua en unpunto debe estar definida en el mismo, debe tener límite en él y el valor de la función debe ser igual al del límite. Si una función es combinación de otras continuas, será también continua excepto enaquellos puntos donde no esté definida.

PROBLEMAS

Conjuntos abiertos. Mostrar que el siguiente conjunto del plano es abierto:

[pic]

Solución

En el plano, un conjunto es abierto cuandodado un elemento (x; y) perteneciente al conjunto es posible trazar un disco alrededor de dicho punto tal que todos los elementos del disco pertenecen al conjunto.
En el caso de nuestro problema,tenemos que cualquier punto (x0; y0) perteneciente al conjunto estará a una cierta distancia de cada uno de los cuatro bordes, no pudiendo estar exactamente sobre los mismos dado que las desigualdadesson estrictas.
En esas condiciones, para seleccionar un ( tal que todos los puntos en un disco de radio ( pertenezcan al conjunto, basta tomar:

( < mín{( x0 + 1), (1 - x0), (y0 + 1), (1 - y0)}Esto es, ( debe ser menor que la menor distancia del punto a los bordes. De esa manera, tendremos que para cualquier punto (x; y) del disco se verificará:

[pic]

Esto es, cualquier punto...