Colombia

bigwilDistancia entre dos puntos
Ecuación de la recta
Andrea.k39@hot
Distancia entre dos puntos
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentranubicados sobre el eje y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.
Ahora si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x1,y1) y B(x2,y2) en el sistema de coordenadas, luegoformar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.
Ejemplo: Calcula la distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades
4.4 FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA LINEA RECTA |

4.4.1.Ecuación De La Recta Que Pasa Por El Origen
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Considere la recta l que pasa por el origen 0 y forma un ángulo de inclinación con el eje x (fig. 4.6.) |

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Fig. 4.6Tómese sobre la recta los puntos P1(x1, y1),P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3). Al proyectar los puntos P1, P2 y P3 sobre el eje x, se obtienen los puntos P’1, P’2, P’3. Como los triángulos OP1P’1, OP2P’2 y OP3P’3 son semejantes; se tiene que: Esto es, cualquiera que sea el punto P(x, y) sobre l, ó y = mx (1) La ecuación (1) es la ecuación de la recta que pasa por el origen y tiene pendienteconocida m. |
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4.4.2. Ecuación De La Recta Conocida Su Pendiente m Y Su Intercepto b Con El Eje y |
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Considere una recta l de la que se conocen m (m = tan ) y b (ver fig. 4.7.) |

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fig. 4.7.Trácece por el origen la recta l’ paralela a l. Sea P(x, y) un punto de l. Al llamar P’ la proyección de P sobre el eje x; PP’ corta a la recta l’ en un punto P’’ de coordenadasP’’(x, Y), Y y.
Como P’’ (x, Y) está sobre l’, entonces , de donde Y = mx Ahora, el cuadrilátero OBPP’’ es un paralelogramo. Luego, P’’P = OB = b. Y se tiene que: Y = P’P = P’P’’ + P’’P = Y + b = mx + b. Es decir, para todo (x, y) l, y = mx + b = (tan )x + b La ecuación y = mx + b es la ecuación de la recta en términos de su pendiente m y su intercepto b con el eje y. |
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4.4.3. Ecuación De LaRecta Que Pasa Por Un Punto Y De Pendiente Conocida |
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Considere la recta l que pasa por un punto dado P1(x1, y1) y cuya pendiente m también es conocida. |
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| Al llamar b al intercepto de la recta l con el eje y, entonces la ecuación de l, viene dada por: y = mx + b (1) Como P1(x1, y1) l, entonces satisface (1) y en consecuencia se tiene: y1 = mx1 + b (2) |
fig. 4.8Alrestar de la ecuación (2) la ecuación (1) se elimina el parámetro b que se desconoce y se obtiene: y – y1 = m(x – x1) (3) La ecuación (3) es conocida como la forma: PUNTO-PENDIENTE de la ecuación de la recta. Nótese que la ecuación (3) también puede escribirse en la forma: y = mx + (y1 – mx1). Lo que indica que el intercepto b con el eje y viene dado por: b = y1 – mx1 |
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4.4.4. Ecuación de larecta que pasa por dos puntos dados P1(x1, y1) y P2(x2, y2) |
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Sea l la recta que pasa por los puntos P1(x1, y1) y P2(x2, y2) y llámese m1 su pendiente. |
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| Como l pasa por el punto P1(x1, y1) y tiene pendiente m1, se tiene de acuerdo a 4.4.3, que y – y1 = m1 (x – x1) (1) representa la ecuación de dicha recta. Ahora, como el punto P2(x2, y2) l, entonces satisface suecuación. |
fig. 4.9.Esto es y2 – y1 =; de donde (2) Sustituyendo (2) en (1) se obtiene (3) La ecuación (3) se conoce como la forma: DOS-PUNTOS de la ecuación de la recta. Observaciones i. Nótese que la ecuación (2) nos proporciona el valor de la pendiente m y la ecuación
(3) también puede escribirse en la forma: Lo que indica que el intercepto de la recta l con el eje y viene dado por: ii....