Combinatoria

PROBLEMAS DE COMBINATORIA

EXTRAÍDOS DE LOS EXÁMENES

1. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿Cuántas combinaciones se pueden hacer con los candidatos para realizar la selección?
a) 21
b) 49
c) 42

Solución: V(7,2)=7·6=42

Hay otra posible interpretación se deriva del significado matemático de combinaciones

2.Un grupo de tres chicos y dos chicas son colocados al azar en una mesa circular. Si a es el número de colocaciones diferentes en las que se sientan dos chicas juntas y b es el número de colocaciones diferentes en las que no se sientan dos chicas juntas (dos colocaciones serán iguales si una puede ser obtenida de la otra mediante una rotación apropiada). Entonces:
a) a=12 y b=12
b) a=14 yb=12
c) a=15 y b=10
Solución: Al ser circular, fijamos uno como referencia, supongamos un chico: O1, los otros chicos los llamamos: O2, O3. Las chicas: A1 y A2
Colocaciones con chicas juntas:
O1AAOO(2!·2!=4
O1OAAO(2!·2!=4
O1OOAA(2!·2!=4
Total: 12
Colocaciones con chicas separadas:
O1AOAO(2!·2!=4
O1AOOA(2!·2!=4
O1OAOA(2!·2!=4
Total: 12

3. ¿Cuáles el número de colocaciones diferentes de 7 libros en una estantería de modo que tres libros determinados estén siempre separados entre sí?
a) 1520
b) 1634
c) 1440
Solución:
Hay 10 formas de escoger 3 casillas separadas
Hay 3! maneras de permutar 3 elementos
Hay 4! maneras de permutar 4 elementos
En total: 10·3!·4!=1440
Otra forma de enfocarlo:
Hay un total de 7!maneras de colocar los 7 libros.
Hay 3!·5·5·4! maneras de colocar 2 libros juntos.
Total: 7! – 3!·5·5·4!

4. ¿Cuántos números de cinco cifras se pueden escribir con cuatro dos y cuatro cincos?
a) 30
b) 50
c) 36
Solución: un número de cinco cifras se puede obtener:
4 dos y 1 cinco(22225([pic]
3 dos y 2 cincos(22255([pic]
2 dos y 3 cincos (22555([pic]
1 dos y4 cincos(25555([pic]
Total de números: 5+10+10+5=30

5. ¿Cuál es el tamaño mínimo de una población para que exista al menos un día al año (de 365 días) donde coincidan la fecha del aniversario de nacimiento de al menos nueve personas?
a) 2921
b) 2633
c) 3025
Solución: colocando 8 personas por día, de forma que su aniversario sea ese día, tenemos un total: 8·365=2920
Siañadimos una persona más, se colocará en uno de los 365 días, día que pasará a tener 9 personas.
La respuesta es 2921

6. ¿Cuál es el número de soluciones enteras no negativas de la ecuación: x1+x2+x3+x4+x5=30?
a) 60211
b) 46376

c) 48520
Solución: el problema es similar a las permutaciones con repetición de treinta 1 y cuatro separadores:
[pic]

7. En una carrera demaratón intervienen 4 españoles, 4 italianos, 4 ingleses y 4 franceses. Supuesto que terminan la carrera todos los corredores, cuántos podios distintos pueden darse al acabar la carrera en los cuales no hay españoles.
a) 1348
b) 1320
c) 1570
Solución: El oro, la plata y el bronce lo obtienen tres personas distintas. Si no pueden ser españoles, hay 12 personas no españolas.
El orolo pueden obtener 12 personas
La plata 11 personas
El bronce 10 personas
Total: 12·11·10=1320

8. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6, satisfacen la condición: el 1 está en primera posición y el 4 en la tercera?
a) 23
b) 24
c) 26
Solución: Colocando fijos el 1 en la primera y el 4 en la tercera, los cuatro números restantes: 2,3,5,6 sepueden colocar de 4! formas distintas (permutaciones).
Total: 4!=24

9. De cuántas formas 5 hombres y 3 mujeres se pueden sentar alrededor de una mesa redonda de modo que dos mujeres no se encuentren juntas. (Dos formas son iguales si se llega de una a otra por rotación. No importa únicamente el sexo sino también que persona es)
a) 1440
b) 6520
c) 1100
Solución: dado que es...