Comparacion de conferencias mundiales de educacion superior

APUNTES DE GEOMETRIA ANALITICA
Sistema de coordenadas rectangulares:
Se llama sistema de coordenadas rectangulares al formado por dos rectas perpendiculares entre si que se cortan en el punto O, llamado origen del sistema. A la recta horizontal se le llama eje X o de las abscisas y a la recta vertical eje Y o de las ordenadas.
Determinan cuatro regiones, denominadas cuadrantes, numeradossiguiendo un sentido contrario a las agujas del reloj.

O

La distancia entre dos puntos
Sean los puntos

La fórmula de la distancia viene dada por:


Ejemplo
1) Calcular la distancia entre los puntos: A(2, 1) y B(-3, 2).

2) Probar que los puntos: A(1, 7), B(4,6) y C(1, -3) pertenecen a una circunferencia de centro (1, 2).
3) Clasificar el triángulo determinadopor los puntos: A(4, -3), B(3, 0) y C(0, 1).

OBSERVACIÓN: Para clasificar un triángulo en acutángulo, rectángulo u obtusángulo se debe verificar las siguientes relaciones:



DIVISION DE UN SEGMENTO EN UNA RAZON DADA
Dividir un segmento AB en una relación dada r es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes, PA y PB, están en la relación r:Ejemplo
¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A(-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?







Distancia de un punto a una recta
La distancia de un punto a una recta es la longitud del segmento perpendicular a la recta, trazada desde el punto.


Ejemplo: Hallar la distancia del punto P(2,-1) a la recta r:3x+4y=0.

Pendiente de una recta:
Se llama pendiente deuna recta a la tangente de su ángulo de inclinación.
Pendiente dado el ángulo
Pendiente dados dos puntos

Observación: El ángulo de inclinación de una recta paralela al eje Y es = 90º, para el cual la tangente no existe, recordemos que tg90º = , donde no es un número. Así para una recta paralela al eje Y la pendiente no existe.

Si el ángulo que forma la rectacon la parte positiva del eje OX es agudo, la pendiente es positiva y crece al crecer el ángulo

Si el ángulo que forma la recta con la parte positiva del eje OX es obtuso, la pendiente es negativa y decrece al crecer el ángulo.


Ángulo entre dos rectas
Se llama ángulo entre dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:
Sus pendientes

Ejemplo:Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.







ECUACIÓN DE LA RECTA
Ecuación de la recta que pasa por dos puntos

Sean los puntos A (x1, y 1) y B (x2, y 2)
La ecuación de la recta que pasa por los dos puntos está dada por:


Ecuación punto-pendiente
Dado la pendiente m y un punto , la ecuación punto pendienteesta dada por:


Ejemplos:
1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos A(-2, -3) y B(4,2).

2) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A(-2,-3) y tiene una inclinación de 45°.
Solución: y la ecuación pedida es:
Ecuación simétrica o canónica de la recta
La ecuación simétrica, canónica o segmentaria de la recta es laexpresión de la recta en función de los segmentos que ésta determina sobre los ejes de coordenadas.
a es la abscisa en el origen de la recta.
b es la ordenada en el origen de la recta.
Los valores de a y de b se pueden obtener
de la ecuación general.

Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b.



Ecuación general o implícita de la recta: cuya pendiente de la recta es:Ecuación principal o explícita de la recta:
El coeficiente de la x es la pendiente, m. El término independiente, n, se llama ordenada en el origen o coeficiente de posición de una recta siendo (O, n) el punto de corte con el eje Y.
Rectas paralelas a los ejes – Recta que pasa por el origen



Recta paralela al eje X, cuya ecuación es y = b

Recta paralela al eje Y, cuya ecuación es x=...