Conjuntos transfinitos

Georg Cantor y la teoría de
conjuntos transfinitos
¿Cuán grande es un conjunto infinito? Cantor hizo ver que hay una jerarquía de infinitos, cada uno "mayor" que su precedente. Su teoría es una de las piedras angulares de la matemática
Joseph W. Dauben
La naturaleza del infinito ha sido siempre objeto de controversia. Las famosas paradojas de Zenón de Elea, quien explicó con inquietantelucidez que el movimiento es imposible, porque exige que el móvil pase por una infinidad de puntos en un tiempo finito, suscitaron ya el problema en la antigüedad. El éxito de la física newtoniana es en gran parte consecuencia de haber introducido Newton el cálculo de tasas de variación de lo infinitamente pequeño, y ello a pesar de que durante más de 200 años no pudo ofrecerse una formulaciónmatemáticamente rigurosa de esta idea, cuya eficacia es tan grande cuan delicado su manejo. En tiempos modernos han aparecido nuevos problemas asociados con el infinito en la teoría de conjuntos abstractos, teoría que proporciona fundamento y cimentación a prácticamente la totalidad de las matemáticas contemporáneas Además, la idea de infinito ha estado siempre, a través de la historia, cargada de tintes ymatices teológicos, que han pesado en la aceptación o en el rechazo de este concepto y de las doctrinas matemáticas o filosóficas con él asociadas. Todas estas corrientes de pensamiento convergen en la vida y obra del matemático Georg Cantor.
La obra a la que Cantor dedicó su vida es, en substancia, bien conocida. Al desarrollar la que él mismo bautizó "aritmética de los números transfinitos",dotó de contenido matemático al concepto de infinito actual. Y al hacerlo así puso los cimientos de la teoría de conjuntos abstractos, contribuyendo además, de forma importante, a fundamentar el cálculo diferencial y el continuo de los números reales. El más notable logro de Cantor consistió en demostrar, con rigor matemático, que la de infinito no era una noción indiferenciada. No todos losconjuntos infinitos son de igual tamaño; por consiguiente, es posible establecer comparaciones entre ellos) El conjunto de todos los puntos de una recta, por ejemplo, y el conjunto de todos los números fraccionarios son, ambos, conjuntos infinitos. Demostró que, en un sentido bien definido, el primero de tales conjuntos es de tamaño mayor que el del segundo. Resultaron tan chocantes a la intuición desus contemporáneos las ideas de Cantor, que el eminente matemático francés Henri Poincaré condenó la teoría de números transfinitos como una "enfermedad", de la que algún día llegarían las matemáticas a curarse. Leopold Kronecker, que fue uno de los maestros de Cantor, y miembro preeminente de la matemática institucional alemana, llegó incluso a atacarle directa y personalmente, calificándolo de"charlatán científico", " renegado" y "corruptor de la juventud.
Es también sabido que Cantor padeció toda su vida de una serie de "colapsos nerviosos", que conforme envejecía iban haciéndose más frecuentes y agotadores. Estos colapsos nerviosos eran, seguramente, síntoma de una enfermedad mental de carácter orgánico. Un estudio reciente llevado a cabo por Ivor Grattan-Guinness, especialista inglésen historia de la matemática, sugiere, fundándose en una evaluación del historial clínico de Cantor realizada por psicólogos de la Halle Nervenklinik (hospital para enfermedades mentales de la ciudad de Halle, en Alemania Oriental), que Cantor era víctima de psicosis maníaco-depresiva Empero, nada más fácil para sus primeros biógrafos que presentarle como víctima desventurada de la persecución desus contemporáneos, que, no obstante padecer colapsos nerviosos cada vez más frecuentes, se esforzaba en defender su compleja teoría.
Tales relatos deforman la verdad, pues trivializan las auténticas y profundas preocupaciones de carácter intelectual que motivaron parte de la oposición -sobre todo la más meditada- con que suus contemporáneos recibieron la teoría. Son igualmente insuficientes a...