Conjuntos y numeros

CONJUNTOS Y NUMEROS - CURSO
2010/2011
RELACIONES DE ORDEN
1) Conjuntos ordenados y sus elementos distinguidos
Recordad que una relacion (binaria) en un conjunto A es una correspondencia
entre A y s mismo. El siguiente tipo de relaciones tendra mucha importancia:
Denicion 1. Sea A un conjunto. Una relacion  en A se dice que es una
relacion de orden cuando satisface las siguientespropiedades:
1. Re
exiva: a  a, para todo a 2 A
2. Antisimetrica: Si a; b 2 A son elementos tales que a  b y b  a, entonces
a = b
3. Transitiva: Si a; b; c 2 A son elementos tales que a  b y b  c, entonces
a  c
Ejemplos 1. 1. En cualquiera de los conjuntos numericos N, Z, Q o R,
consideramos la relacion: a  b si, y solo si, a es menor o igual que b
2. En N =: Nn f0g seconsidera la relacion: a  b si, y solo si, a divide a b
3. Sea A el conjunto de todas las palabras posibles que se pueden formar
con el alfabeto latino. (Nota importante: no se requiere que la palabra
tenga sentido o signicado. Por ejemplo, abbcccd sera una palabra y,
por tanto, un elemento de A). Se considera la relacion lexicograca: Si
x; y 2 A son palabras, entonces x  y cuando,empezando por la izquierda,
la primera letra no comun de x es anterior a la de y en el alfabeto latino.
As, por ejemplo, abbcccd  abbccdd, porque la primera letra no comun de
x = abbcccd es la tercera c mientras que en x = abbccdd es la primera d.
Puesto que c esta antes que d en el alfabeto latino, conclumos que x  y
4. Sea X un conjunto arbitrario y consideramos en P(X) la relacion: Y Z
si, y solo si, Y  Z
1
Denicion 2. Un par (A;), donde A es un conjunto y  es una relacion
de orden en A, se dice que es un conjunto ordenado. Dicho conjunto se
dira totalmente ordenado cuando la relacion de orden  satisface ademas la
propiedad siguiente:
Para cualesquiera a; b 2 A, o bien a  b o bien b  a
Ejercicio 2. Considerar los conjuntos ordenados (A;) dados por losejemp-
los 1. Decir cuales de ellos son conjuntos totalmente ordenados, razonando la
respuesta.
Cuando un conjunto ordenado (A;) es nito, una manera muy practica de
visualizarlo es usando el llamado diagrama de Hasse. Este consiste en dibujar
los elementos de A como puntos del plano, de manera que si a < b (e.d. a  b
y a 6= b) entonces a aparezca debajo de b y con un segmento entreambos.
Ejemplo 3. Si A = fa; b; c; d; eg y denimos la relacion  en A cuyo subcon-
junto asociado de AA es R = f(a; a); (b; b); (c; c); (d; d); (e; e); (a; b); (a; c); (c; d),
(c; e); (a; d); (a; e)g, entonces  es una relacion de orden cuyo diagrama de Hasse
asociado es:
d
c
e
a
b
@
@
@
@
@
@

Dentro de un conjunto ordenado, hay algunos elementos importantes que
convienedestacar:
Denicion 3. Sea (A;) un conjunto ordenado y a 2 A un elemento. Diremos
que:
i) a es un maximo de A, cuando b  a para todo b 2 A
ii) a es un mnimo de A, cuando a  b, para todo b 2 B
iii) a es un elemento maximal de A cuando se verica: si a  b entonces
b = a
iv) a es un elemento minimal de A cuando se verica: si b  a entonces
b = a
Ejercicios 4. 1. Sea (A;) un conjuntoordenado. Demostrar que A tiene
un maximo (resp. mnimo) si, y solo si, se satisfacen las dos propiedades
siguientes:
(a) A tiene un unico elemento maximal (resp. minimal)
(b) Para todo x 2 A existe un elemento maximal (resp. minimal) m 2 A
tal que x  m (resp. x  m).
En tal caso, probar que maximo (resp. mnimo) y unico elemento maximal
(resp. minimal) coinciden. Por tanto, de existirmaximo (resp. mnimo)
de un conjunto ordenado, es unico.
2. En cada caso, dar un ejemplo de conjunto ordenado A satisfaciendo la
condicion requerida:
(a) A no tiene elementos maximales (resp. minimales)
(b) A tiene varios elementos maximales (resp. minimales)
(c) Existe un elemento x 2 A para el que no existe elemento maximal
(resp. minimal) m 2 A tal que x  m (resp. x  m)
Ejemplos...