Conocimiento

Máximos Y Mínimos
Crecimiento y decrecimiento.
Cuando una función es derivable en un punto, podemos conocer si es creciente o decreciente en dicho punto:
* Una función f(x) es creciente en unpunto a, si su derivada es positiva
* Una función f(x) es decreciente en un punto a, si su derivada es negativa

Procede de la siguiente forma:
• Se halla la derivada, se iguala a cero y se resuelvela ecuación resultante
• Con los puntos en los que se anula la derivada dividimos el dominio en intervalos.
• Se estudia el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada uno de los intervalosresultantes

Ejemplo:
Halla los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función
Hallamos la derivada: La igualamos a cero y resolvemos la ecuación resultante:Dividimos el dominio R por los puntos 3 y 1 y obtenemos los intervalos
, y
Estudiamos el signo de la derivada en un punto cualquiera de cada intervalo: Para x = 0, , es decir,positiva Para x = 2, , es decir, negativa Para x = 4, , positiva
La monotonía de la función queda reflejada en la siguiente tabla: Intervalos (- ∞, 1) (1, 3) (3, +∞) Signo de la derivada + - + FunciónMáximos y mínimos. Son los puntos en que la función cambia de monotonía.
Si una función derivable presenta un máximo o un mínimo en un punto , entonces
En el punto de abscisa x = c la función pasade creciente a decreciente
Geométricamente significa que la tangente en el punto x = c es horizontal Si y existe la segunda derivada, se verifica:
Si , hay un mínimo relativoen el punto c
Si , hay un máximo en dicho punto.
Demostración: Lo hacemos para el caso de mínimo: Si la función es creciente en c luego
Y como , , esdecir, la derivada es negativa a la izquierda de c (función decreciente) y positiva a la derecha (función creciente), por tanto, existe mínimo relativo en c.
Para la determinación de máximos y mínimos...