Construccion De Los Numeros Reales

APROXIMACIÓN POR DEFECTO Y POR EXCESO. DEFINICIÓN DE NÚMERO REAL POR ENCAJE DE DE INTERVALOS.
Este desarrollo surge de forma natural del concepto de medir cantidades e involucra el importanteconcepto de aproximación. Las medidas aproximadas por defecto y por exceso de una cantidad h son los extremos de intervalos que contienen a h en su interior. Este intervalo es tanto más pequeño cuanto mayorsea el grado de aproximación.
Esta idea conduce a una definición matemática rigurosa del número real a partir de esta intuición geométrica:
Todo número real está representado por un punto de un ejede abscisas, y al considerar aproximaciones racionales por defecto y por exceso, cada vez mejores, ese punto aparece como punto común de los infinitos intervalos cerrados de una sucesión
a1,b1,a2,a3, … , an-1,bn-1, an,bn, … (1)
Con estas dos propiedades: cada intervalo está contenido en el anterior:
an,bn⊂an-1,bn-1(2)
Y sus longitudes llegan a ser tan pequeñas como se quiera.

Una tal sucesión se llama encaje de intervalos.
Por ejemplo, para el número
π=3,14159…
Se tiene:Intervalos Longitudes
Apro. por defecto Apro. por exceso
3 , 41
3,1 , 3,2 0,1
3,14, 3,15 0,01
Nótese que un mismo número real se puede determinar por diferentes encajes de intervalos racionales(es decir, de extremos racionales), considerando otras aproximaciones racionales. Dos encajes de intervalos (1) y
c1,d1, c2,d2, …, cn,dn, … (3)
Determinan el mismo número...