Construccion de numeros reales

Resumen Se estudian varios m´todos para construir los n´meros reales manteniendo los axe u iomas que definen a los racionales y uno adicional que puede ser cualquiera de los siguientes: Propiedad de continuidad Principio de intervalos cerrados encajados Axioma del supremo Cortaduras de Dedekind Adem´s se demuestra la equivalencia entre cada una de estas construcciones. a

Clasificaci´n: An´lisisMatem´tico o a a

´ INTRODUCCION Nuestro inter´s por realizar este trabajo se debe a que pens´bamos que conoc´ e a ıamos los n´meros reales, pero definitivamente est´bamos equivocados, pues no nos imagu a in´bamos ni remotamente su origen. Con nuestro comienzo en la universidad se nos a abrieron numerosas puertas al conocimiento matem´tico, entre ellas est´ el conocer a a que R surge a partir delos huecos de Q y que existen diferentes manera de definirlo. Se atribuye a los pitag´ricos la expresi´n ”Todo es n´mero”. La Escuela Pitag´rica o o u o fue la primera escuela matem´tica griega. Antes de ellos se hab´ acumulado una a ıa buena cantidad de conocimiento matem´tico debido a culturas tales como la egipcia a y la babil´nica; conocimiento con el que entran en contacto los griegos pormedio de o los viajes de Tales de Mileto y, luego, del propio Pit´goras. Este contacto significa a para la matem´tica de la ´poca un enorme salto conceptual pues, de una matem´tica a e a dedicada en lo esencial a la soluci´n de problemas de tipo pr´ctico, se pasa a una o a matem´tica interesada en los conceptos y las relaciones que ellos ocultan, es dea cir una matem´tica te´rica. A partir de Tales yPit´goras, la matem´tica griega a o a a evoluciona por caminos de alta complejidad que, parad´jicamente, se estructuran o alrededor de una disciplina com´n: la geometr´ Es as´ como en el siglo IIIa.C., u ıa. ı m´s de doscientos a˜ os despu´s de Tales y Pit´goras, aparece un texto de importana n e a cia capital para la historia de la matem´tica: los ”Elementos”de Euclides, esfuerzo a totalitario derecolecci´n del saber matem´tico acumulado hasta la ´poca; dotado o a e de un enorme sentido pedag´gico que llev´ desde su creaci´n a separarlo en trece o o o vol´menes. u ¿C´mo congeniamos estas ideas, aparentemente dispersas, en una sola disciplina o conceptual? Podemos dar un ejemplo si retomamos la idea pitag´rica original ”Too do es n´mero”, idea que para los propios pitag´ricos ten´ unsentido tan profundo u o ıa que adquir´ caracter´ ıa ısticas sagradas. En este sentido, Pit´goras viene a ser el prea decesor original de Leopold Kronecker, el matem´tico que afirm´ que ”Dios cre´ los a o o n´meros enteros, lo dem´s lo hizo el Hombre”, porque cuando un pitag´rico hablaba u a o de n´mero lo que ten´ en mente espec´ u ıa ıficamente era un n´mero racional. u Esto lo podemos ver claramenteen ”Los Elementos ”de Euclides Def.V II,1 y Def.V II,2. La primera dice que una unidad es aquello en virtud de lo cual cada una de las cosas que hay es llamada una y la segunda afirma que un n´mero es u una pluralidad compuesta de unidades. Definiciones lo suficientemente restrictivas para separar el concepto de unidad del concepto mismo de n´mero: una unidad no u es un n´mero, es el ente queconstituye a los n´meros. u u La visi´n pitag´rica del n´mero como la sustancia constitutiva del Universo, cono o u dujo a otra creencia que juega un papel importante en el desarrollo del tema que nos ocupa: la absoluta conmensurabilidad de los segmentos, es decir, la existencia de una medida com´n para dos segmentos distintos cualesquiera. Tambi´n se asigna u e a los pitag´ricos el descubrimiento delteorema que lleva su nombre el cual, entre o otras muchas cosas, conduce a una importante proporci´n: el cuadrado construido o sobre la diagonal de un cuadrado es al cuadrado original como 2 es a 1.

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Ahora bien, esta proporci´n trae como consecuencia inmediata una interrogante: o ¿Cu´l es la proporci´n que se establece al comparar la diagonal del cuadrado y el a o lado del mismo?. La...