construccion de un numero real

Caracterización axiomática
Fue propuesto por el matemático alemán David Hilbert. En textos actuales de cálculo y análisis matemático aparecen enunciados equivalentes al de Hilbert.

Existendiferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partir de axiomas, siendo la caracterización más común, el conocido como método directo que introduce el sistema (ℝ, +,., ≤), donde loselementos de ℝ se llaman números reales, + y. son dos operaciones en ℝ, ≤ es una relación de orden en ℝ. Se presenta una variante axiomática, mediante las siguientes tres propiedades:
Un conjuntoes el conjunto de los números reales si satisface las siguientes tres condiciones:
1. es un campo.
2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo:Si entonces ;
Si y entonces .
3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo:
Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.
• El axioma del supremo es unavariante del Principio de Weirstrass" que dice que toda sucesión de números reales acotada superiormente tiene supremo
Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado, mientras quela tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la que diferencia al conjunto de los números reales de todos los demás campos ordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existirdiferentes conjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentes al conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si eso sucediera, ambas estructuras seríanesencialmente la misma.
Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas es isomorfo al conjunto de los números reales.
En vista de lo anterior podemos hablar del conjunto de los númerosreales (y no de un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usar el símbolo para representarlo.
Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es...