Coordenadas Polares
Páginas: 8 (1860 palabras)
Publicado: 15 de agosto de 2013
INTRODUCCION
El sistema mas utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muy utilizado también: el de coordenadas polares. En este método se utiliza la distancia del punto al origen, medido sobre el segmento que los une, y el ángulo que forma dicho segmento con uno de los ejes.
COORDENADAS POLARES
El sistema de coordenadas polares esun sistema de coordenadas que define la posición de un punto en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia.
En la figura, se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia, punto O y la línea OL sobre la que se miden los ángulos, en las referencias a los puntos se indicando la distancia al centro de coordenadas y el ángulosobre el eje OL.
El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
El punto (4, 210º) está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL.
Este sistema se emplea en los casos en los que el conocimiento de los ángulos directores sea más práctico que las coordenadas cartesianas. Normalmente, eso sucede cuando lafigura o curva a estudiar está definida más claramente por los ángulos sobre los ejes y la distancia al centro de coordenadas, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.
En el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas, dado que: el centro de coordenadas está definido poruna distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen un punto definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia.
Esta circunstancia debe tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas.
COORDENADAS POLARES EN EL PLANO
En el plano deejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.
CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que las coordenadas polares son:CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
COORDENADAS POLARES EN EL ESPACIO
Dado el espacio tridimensional, con centro de coordenadas O y ejes xyz, se puede definir un sistema de coordenadas polares, de modo que un punto del espacio M estádefinido por dos ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, donde el primer ángulo es el que forma la proyección del vector r sobre el plano xy y el eje x, y el segundo ángulo es el que forma el vector r con el plano xy.
CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares (x,y,z), se tiene que:CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES
Definido un punto en el espacio por sus ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, se tiene:
Ejemplos
En el plano
Una circunferencia se define en coordenadas polares:
Una espiral se define, un caso particular es cuando el radio es proporcional al ángulo:
donde k es un valor real, da lugar a la Espiral deArquímedes
Otros ejemplos:
Espiral logarítmica
Espiral de Fermat
En el espacio
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función como, por ejemplo:
Hélice (geometría)
CAMBIO DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS
Si (r, a) son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán: x = r cos a , y = r sen a .
ROSA...
El sistema mas utilizado para localizar un punto suele ser el de las coordenadas cartesianas, pero hay otro muy utilizado también: el de coordenadas polares. En este método se utiliza la distancia del punto al origen, medido sobre el segmento que los une, y el ángulo que forma dicho segmento con uno de los ejes.
COORDENADAS POLARES
El sistema de coordenadas polares esun sistema de coordenadas que define la posición de un punto en función de los ángulos directores y de la distancia al origen de referencia.
En la figura, se representa un sistema de coordenadas polares en el plano, el centro de referencia, punto O y la línea OL sobre la que se miden los ángulos, en las referencias a los puntos se indicando la distancia al centro de coordenadas y el ángulosobre el eje OL.
El punto (3, 60º), indica que está a una distancia de 3 unidades de O, medidas con un ángulo de 60º sobre OL.
El punto (4, 210º) está a una distancia de 4 unidades de O y un ángulo de 210º sobre OL.
Este sistema se emplea en los casos en los que el conocimiento de los ángulos directores sea más práctico que las coordenadas cartesianas. Normalmente, eso sucede cuando lafigura o curva a estudiar está definida más claramente por los ángulos sobre los ejes y la distancia al centro de coordenadas, como en las figuras de revolución, en los movimientos giratorios, en las observaciones estelares, etc.
En el sistema de coordenadas polares no hay una función biyectiva entre los puntos del espacio y las coordenadas, dado que: el centro de coordenadas está definido poruna distancia nula, independientemente de los ángulos que se especifiquen un punto definido por un ángulo y una distancia, es el mismo punto que el indicado por ese mismo ángulo más un número de revoluciones completas y la misma distancia.
Esta circunstancia debe tenerse en cuenta para evitar confusiones en este sistema de coordenadas.
COORDENADAS POLARES EN EL PLANO
En el plano deejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo θ del vector de posición sobre el eje x.
CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que las coordenadas polares son:CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES
Definido un punto en coordenadas polares por su ángulo θ sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:
COORDENADAS POLARES EN EL ESPACIO
Dado el espacio tridimensional, con centro de coordenadas O y ejes xyz, se puede definir un sistema de coordenadas polares, de modo que un punto del espacio M estádefinido por dos ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, donde el primer ángulo es el que forma la proyección del vector r sobre el plano xy y el eje x, y el segundo ángulo es el que forma el vector r con el plano xy.
CONVERSIÓN DE COORDENADAS RECTANGULARES A POLARES
Definido un punto M en el espacio por sus coordenadas rectangulares (x,y,z), se tiene que:CONVERSIÓN DE COORDENADAS POLARES A RECTANGULARES
Definido un punto en el espacio por sus ángulos directores y la distancia al centro de coordenadas r, se tiene:
Ejemplos
En el plano
Una circunferencia se define en coordenadas polares:
Una espiral se define, un caso particular es cuando el radio es proporcional al ángulo:
donde k es un valor real, da lugar a la Espiral deArquímedes
Otros ejemplos:
Espiral logarítmica
Espiral de Fermat
En el espacio
Las coordenadas polares en el espacio tienen especial interés cuando los ángulos determinan la función como, por ejemplo:
Hélice (geometría)
CAMBIO DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS
Si (r, a) son las coordenadas polares de un punto, las coordenadas cartesianas serán: x = r cos a , y = r sen a .
ROSA...
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