coordenadas polares

Universidad autónoma de santo domingo
UASD
Calculo 2

Coordenadas polares

Integrantes:
Enmanuel Marquez
Jhoel Ruiz

Matriculas:
100258716
100220831

1- Transformar los puntos de coordenadas cartesianas a polares
1) (-2√3, 2)

X= -2√3 y=2

R=√(-2√3)² + (2)²=4

α=arctan (y/x)
α=arctan(2/-2√3)=210˚

(4, 210˚)

2) (0, 2)

x=0 y=2

r=α=arctan (y/x)
α=arctan(2/0)=45˚

(2, 45˚)

3) (-√2, -√2)

x=-√2 y=-√2

r=2

α=arctan (y/x)
α=arctan(-√2/-√2)=180˚

(2, 180˚)

4) (3, -4)

X=3 y=-4

R=5

α=arctan(y/x)
α=arctan(-4/3)=233.13˚

(5, 233.13˚)


2- Dadas las ecuaciones siguientes en coordenadas cartesianas expresarlas en coordenadas polares.

5) X²- Y²=4

X=cosΩ y=senΩr=√x² + y²

x² + y² - 4= 0
r²cos²Ω - r²senΩ= 0
r²(cos²Ω - sen²Ω) – 4 = 0
r²(cos²Ω - sen²Ω)= 4

6) 2x² + 2y² + 2x – 6y= 3

X=cosΩ y=senΩ r=√x² + y²

2r²cos²Ω + 2r²sen²Ω + 2r²cosΩ - 6r²senΩ - 3= 0
2r²(cos²Ω + sen²Ω) + r(2cosΩ - 6senΩ) – 3= 0
2r² + r(2cosΩ - 6cosΩ)= 3

7) x² + y² + xy= 2

X=cosΩ y=senΩ r=√x² + y²

r²cos²Ω + r²sen²Ω + rcosΩ rsenΩ -2= 0r²(cos²Ω + sen²Ω) + r(cosΩ senΩ) – 2=0
r² + r(cos²Ω sen²Ω)= 2


8) (x² + y²)² = 2(x² - y²)

X=cosΩ y=senΩ r=√x² + y²

x² + y² =√2(x² - y²)
r²cos²Ω + r²sen²Ω= √2(r²cosΩ - r²sen²Ω)
r²(cos²Ω + sen²Ω)= √2r²(cos²Ω - sen²Ω)
r²=√2r²(cos²Ω - sen²Ω)
(r²)²=[√2r²(cos²Ω + sen²Ω)]²
(r²)²=2r²(cos²Ω + sen²Ω)

=2

3- Discutay grafique las siguientes curvas

9) R=2 + sen2Ω

Intersección
a) eje polar F(0)=2 + sen2(0)= 2 (2, 0˚)
F(180)=2 + sen2(180)= 2 (2, 180˚)
F(360)=2 + sen2(360)= 2 (2, 360˚)
b)eje normal f(90)=2 + sen2(90)= 2 (2, 90˚)
f(270)=2 + sen2(270)=2 (2, 270)Simetría
a) eje polar. Sustituimos a Ω por (-Ω)
f(-Ω)=2 + sen2(-Ω)
f(-Ω)=2 – sen2Ω f(Ω)≠f(Ω), por tanto no es simétrica.

b) eje normal. Sustituimos a Ω por (180˚-Ω)
f(180 - Ω)=2 + sen2(180 - Ω)
f(180 - Ω)=2 +sen(360 - 2Ω)
f(180 - Ω)=2 + (sen360cosΩ - con360senΩ)
f(180 - Ω)=2 – sen2Ω f(Ω)≠f(180 - Ω), por tanto no es simétrica.

c) Conel polo.
Si es simétrica, porque es simétrica con el polo y con el eje normal por tanto también lo es con el polo

10) r²=4cos2Ω

Intersecciones
a) eje polar F(0)== 2 (2, 0˚)
f(180)== 2 (2, 180˚)
f(360==2 (2, 360˚)

b) eje normal f(90)== --
f(270)== --no intersecta.

Simetría
a) eje polar f(Ω)= f(-Ω)

f(-Ω)=
f(-Ω)= f(Ω)≠ f(-Ω) no es simétrica.

b) Eje normal f(Ω)=f(180 - Ω)
F(180 - Ω)=
=
= f(Ω)=f(180 - Ω) si es simétrica.

c) Con el polo.
No es simétrica, porque es simtrica solo con el eje noramal por tanto no lo es conel polo.


11) R= 3 – 4senΩ

Intersecciones

a) Eje polar f(0)=3 – 4senΩ= 3 (3, 0˚)
F(180)=3 – 4senΩ=3 (3, 180˚)
F(360)=3 – 4senΩ=3 (3, 360˚)

b) Eje normal f(90)=3 – 4senΩ= --
F(270)=3 – 4senΩ= 7 (7, 270˚)

Simetria

a) Eje polar f(Ω)= f(-Ω)
F(-Ω)= 3 –4sen(-Ω)
F(-Ω)=3 + 4senΩ no es simetrico

b) Eje normal f(Ω)=f(180 - Ω)
F(180 - Ω)=3 – 4sen(180 - Ω)
F(180 - Ω)=3 – 4(sen180cosΩ - cos180senΩ)
F(180 - Ω)= 3 + 4senΩ

c) Con el polo.
No es simetrico, porque solo es simetrico con un solo de los ejes.


12) R=3 + 2cosΩ

Intersecciones

a) Eje polar f(0)=3 + 2cosΩ= 5 (5, 0˚)...