coordenadas polares

89

Unidad 5 : INTEGRALES MÚLTIPLES
Tema 5.4 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares
(Estudiar la Sección 15.4 en el Stewart 5ª Edición; Hacer la Tarea No. 21)

Cuando se va a calcular una integral doble en coordenadas polares, podemos
considerar tres tipos diferentes de regiones: (a) Regiones de Rectángulos
Polares, en las que los 4 límites son constantes, (b) Regiones Tipo I, en las
que debeintegrarse primero la variable r, y (c) Regiones Tipo 2, en las que
debe integrarse primero la variable θ.
Ambas regiones se ilustran gráficamente, y simbólicamente, en la Tabla de la
página 86. Esta tabla debe estudiarse detenidamente antes de proceder a
resolver los ejercicios siguientes
Diferencial de área en coordenadas polares: Recordando la relación entre
el radio y la longitud de arco enun sector circular está dada por: s = rθ ,
tenemos entonces que el diferencial de área en coordenadas polares está
dado por dA = (dr )(rdθ ) como se muestra en la figura. Se acostumbra escribir
como dA = r dr dθ
dr
s

r

dA=(rdθ)(dr)

r

s=rθ

dθ

θ

dA=rdrdθ
rdθ

Ejemplo 1: Evalúe la integral

∫∫

e−x

2

− y2

dA , en donde D es la región limitada

D

por el semicírculo x = 4 − y 2 y el eje y ,pasando a coordenadas polares.
Solución:
2

∫∫

π

e

− x2 − y 2

dA =

−

D

(1 − e )
−4

2
-2

∫ ∫
2

∫

π
2
−π
2

π

2

2

e

−r 2

0

1
r dr dθ =
−2

π

∫ [e ] dθ =
2
−π
2

−r 2

2

0

(1 − e ) π −  − π  = (1 − e )π
dθ =
−4

2

−4

2



 2 

2

90

Ejemplo 2: Encuentre el volumen del sólido limitado por el plano z = 0 , y el
paraboloide z = 1 − x 2 − y 2 .

La curva de
intersecciónde las
superficies es:

z1 = z 2
1− x2 − y2 = 0
x2 + y2 = 1

∫∫ (1 − x

V=

r2 =1
r =1

)

2

− y 2 dA =

2π

1

∫ ∫ (1 − r )r dr dθ
0

2

0

D
2π

=

1

∫ ∫ (r − r )dr dθ = ∫
3

0

0

1

r2 r4 
1
π
 −  dθ = ⋅ 2π =
40
4
2
2

2π

0

Ejemplo 3: Encuentre el volumen del sólido debajo del paraboloide z = x 2 + y 2 ,
arriba del plano xy, y dentro del cilindro x 2 + y 2 = 2 x
La base del volumenes:

x 2 + y 2 = 2x

(x

2

)

π

2

− 2x +1 + y = 1

(x − 1)2 + y 2 = 1
círculo C (1,0) ; r = 1

V=

2

2

x + y = 2x
r 2 = 2r cosθ
r = 2 cosθ

−π
2

D

π

=

=

Su ecuación en c. polares:

∫∫ f (r,θ ) r dr dθ = ∫ ∫
2

∫ ∫
2

−π
2

∫

=4

2 cosθ

r4 
 
40

2
−π
2

1
dθ =
4

∫

π
2

−π
2

(cos θ )

= L =

2

3π
2

2

dθ = 4

(x

2

)

+ y 2 r dr dθ

0

(r ) r dr dθ = ∫
2

0

π

∫

2 cos θ

2cosθ

π
2

−π
2

∫

2 cos θ

(r ) dr dθ
3

0

π
2
−π
2

∫

π
2

−π
2

16 cos 4 θ dθ
2

 1 + cos 2θ 

 dθ
2



91

Ejemplo 4: Use coordenadas polares para calcular el volumen del sólido dentro
2
2
2
2
2
de la esfera x + y + z = 16 y fuera del cilindro x + y = 4

r=2

z

La esfera

z = + 16 − r 2

x 2 + y 2 + z 2 = 16
r 2 + z 2 = 16
z = ± 16 − r 2
El cilindro

x

x2 + y2 = 4
r2 = 4
r=2

z =− 16 − r 2

2π

V=

∫∫∫dV = ∫∫∫dz(rdrdθ ) = ∫ ∫ ∫
0

∫ ∫ [2
2π

V=

0

V=

4

2

2

]

16 − r dr dθ = −

+ 16− r 2

4

2

∫

2π

0

− 16− r 2

r dz dr dθ

3
2
(12) 2 (2π ) = 4π 24 3 = 32π 3
3
3

(

4

3
2
2 2
(
16
−
r
)
 3
 dθ
2

)

Para la próxima clase estudiar las secciones
15.4 Integrales Dobles en Coordenadas Polares
15.7 Integrales Triples en Coordenadas Cartesianas
Tarea para entregarla próxima clase
Tarea No. 21 Integrales Dobles en Coordenadas Polares

92

Integrales Dobles en Coordenadas Polares
r=b

θ=β
θ =β

Región
Rectangular
Polar

θ=α

r=a


 (r,θ )


a≤r ≤b 

α ≤θ ≤ β 

∫ ∫
∫ ∫
θ =α

r =b

f (r ,θ ) rdrdθ

r =a

r =b θ = β

f (r ,θ ) rdθdr

r = a θ =α

r=h2(θ)

Región
Tipo 1

θ=β
θ=α

r=a


 (r ,θ )


h1 (θ ) ≤ r ≤ h2 (θ ) 

α ≤θ ≤ β



 (r ,θ )


g1 (r) ≤ θ ≤ g 2 (r ) 

a≤r ≤b


θ =β

∫ ∫
θ =α

r = h2 (θ )

f (r ,θ ) rdrdθ

r = h1 (θ )

r=h1(θ)

r=b

Región
Tipo 2

θ=g2(r)
θ=g1(r)

r=a

r =b θ = g 2 (r )

∫ ∫

f (r ,θ ) rdθdr

r = a θ = g1 (r )

93

Ma-817 : MATEMÁTICAS III PARA INGENIERIA
Tarea No 21 : Integrales Dobles en Coordenadas Polares
(Sección 15.4 del Stewart 5ª Edición)

En los problemas 1 al 2 evalúe la integral doble...