Coordenadas Polares

Coordenadas Polares (R2)
Definicion:
Las coordenadas polares o sistemas polares son un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto del plano se determina por una distancia y un ángulo, ampliamente utilizados en física y trigonometría.
De manera más precisa, se toman: un punto O del plano, al que se le llama origen o polo, y una recta dirigida (o rayo, o segmento OL) que pasa porO, llamada eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano), como sistema de referencia. Con este sistema de referencia y una unidad de medida métrica (para poder asignar distancias entre cada par de puntos del plano), todo punto P del plano corresponde a un par ordenado (r, θ) donde r es la distancia de P al origen y θ es el ángulo formado entre el eje polar y la recta dirigida OP que va deO a P. El valor θ crece en sentido anti horario y decrece en sentido horario. La distancia r (r ≥ 0) se conoce como la «coordenada radial» o «radio vector», mientras que el ángulo es la «coordenada angular» o «ángulo polar».
En el caso del origen, O, el valor de r es cero, pero el valor de θ es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0º).
Conversión decoordenadas:
Paso de coordenadas polares a rectangulares y viceversas
Las coordenadas rectangulares (x, y) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, x e y. Por tanto, la ecuación de cualquier lugar geométrico en un sistema de coordenadas rectangulares en un plano , contiene una o ambas de estas variables, pero no otras. Por esto es apropiado llamar a una ecuación de esta clasela ecuación rectangular del lugar geométrico.
Las coordenadas polares (r , Ѳ) de cualquier punto de un plano implican solamente dos variables, r y Ѳ, de manera que la ecuación de cualquier lugar geométrico en el plano coordenado polar contiene una o ambas variables, pero no otras. Tal ecuación se llama, de acuerdo con esto , la ecuación polar del lugar geométrico. Así, la ecuación Ѳ = -π/4 y r =cos Ѳ son las ecuaciones polares de dos lugares geométricos planos .


Para un lugar geométrico determinado , conviene , frecuentemente , saber transformar la ecuación polar en la ecuación rectangular, y recíprocamente . Para efectuar tal Y transformación debemos conocer las relaciones que existen entre las coordenadas rectangulares y las coordenadas polares de cualquier punto ,X,A del lugargeométrico. Se obtienen Y relaciones particularmente simples cuando el polo y el eje polar del sistema polar se hacen coincidir , respectivamente , con el origen y la parte positiva del eje X del sistema rectangular. Sea P un punto cualquiera que tenga por coordenadas rectangulares (x, y) y por coordenadas polares (r,Ѳ) Entonces se deducen inmediatamente las relaciones










Diagrama ilustrativo dela relación entre las coordenadas polares y lascoordenadas cartesianas.
En el plano de ejes xy con centro de coordenadas en el punto O se puede definir un sistema de coordenadas polares de un punto M del plano, definidas por la distancia r al centro de coordenadas, y el ángulo  del vector de posición sobre el eje x.
Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Definido un punto en coordenadaspolares por su ángulo  sobre el eje x, y su distancia r al centro de coordenadas, se tiene:


Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Definido un punto del plano por sus coordenadas rectangulares (x,y), se tiene que la coordenada polar r es:
 (aplicando el Teorema de Pitágoras)
Para determinar la coordenada angular θ, se deben distinguir dos casos:
Para  = 0, el ángulo θ puede tomarcualquier valor real.
Para  ≠ 0, para obtener un único valor de θ, debe limitarse a un intervalo de tamaño 2π. Por convención, los intervalos utilizados son [0, 2π) y (−π, π].
Para obtener θ en el intervalo [0, 2π), se deben usar las siguientes fórmulas ( denota la inversa de la función tangente):

Para obtener θ en el intervalo (−π, π], se deben usar las siguientes fórmulas:

o equivalentemente...