Crecimiento y Decrecimiento Exponencial
Páginas: 5 (1076 palabras)
Publicado: 2 de julio de 2013
“Crecimiento y Decrecimiento Exponencial”
CRECIMIENTO EXPONENCIAL
Imaginemos que tenemos una bacteria medrando en lo que los biólogos llaman una placa de Petri, es decir, nadando en un medio en el cual puede alimentarse y reproducirse. Al cabo de veinte minutos, esta bacteria habrá dado lugar a otra bacteria. Cada ciclo de veinte minutos serepetirá esta operación, de forma que cuando hayan pasado 40 minutos habrá 4 bacterias y al cabo de una hora ya serán 8 las bacterias que cohabiten en la placa.
Cada una de estas bacterias pesa realmente poco, alrededor de una billonésima de gramo (0´000.000.000.001g), o sea, que hace falta un billón de bacterias para que pesen un gramo. Pues bien, la pregunta que se plantea es la siguiente: ¿Cuál seráel peso de este cultivo al cabo de 48 horas? Recordemos que se empieza con una bacteria que se produce cada veinte minutos. Si le plantea la pregunta a alguien, puede estar plenamente convencido de que ganará una apuesta, ya que el error en la respuesta, incluso entre gente bregada en números, suele ser monumental. El peso final del cultivo sería el equivalente a unas 4.000 veces el peso de laTierra. Esto no va a suceder en la pequeña placa de Petri debido a que en el cultivo se llega a una etapa estacionaria, en la cual los excedentes contaminan el ambiente de nutrientes y las bacterias dejan de reproducirse. Pensemos que cuando esto no es así, las bacterias “malas” pueden llegar a fulminar a una extensa población humana en relativamente poco tiempo.
Estos resultados, que siemprenos sorprenden por sus desmesuradas proporciones, responden a un tipo de comportamiento que en matemáticas recibe el nombre de crecimiento exponencial. La mayoría de los crecimientos de población son de este tipo y las cifras que se manejan nunca dejan de sorprendernos. Por ejemplo, una pareja de ratas que en cada estación (primavera, verano, otoño, invierno) se reprodujera dando lugar a otrascuatro, llenaría con creces toda la faz de la Tierra en tan sólo 60 generaciones.
DEFINICIONES
La operación resultante de sumar un número x consigo mismo n veces, da lugar a lo que llamamos multiplicación.
X+x+x+…x (n veces) = x*n
Del mismo modo, la multiplicación de un número x por sí mismo n veces da lugar a la potenciación.
x*x*….*x (n veces)= xn
Al número x se le llama base, yal número n, exponente.
Se dice que una sucesión de números crece linealmente cuando tienen una tasa de aumento constante, es decir, cuando uno de ellos se puede obtener del anterior, sumándole una cantidad fija. Por ejemplo:
4,7,10,13,16…
En donde la tasa de aumento es tres, que es la cantidad fija que hay que sumar a cada número para obtener el siguiente. En términos algebraicos, si n esla posición que ocupa un término en la sucesión numérica anterior, su valor, que designaremos por f(n), es f(n)=n+3
En cambio, cuando esta tasa de aumento no crece con la suma sino con el producto, de manera que cada número se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, se dice que la serie tiene un crecimiento exponencial, como en el caso de :
2,4,8,16,32…
En en que cadaelemento de la serie se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, que en este caso es 2. En términos algebraicos, f(n)=2n.
En estos tipos de sucesiones numéricas también reciben los nombres respectivos de sucesión aritmética y sucesión geométrica.
EL TIMO DE AJEDREZ
Existe una leyenda que se utiliza como ejemplo casi proverbial sobre el crecimiento expotencial; cuenta quecuando el inventor del juego de ajedrez se lo mostró a su rey, éste quedó tan satisfecho con el invento que le otorgó cualquier cosa que quisiera como regalo. El inventor contestó que se conformaría si le regalaran 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente hasta completar el tablero, a lo que el rey, ignorante de lo se le venía encima, accedió...
“Crecimiento y Decrecimiento Exponencial”
CRECIMIENTO EXPONENCIAL
Imaginemos que tenemos una bacteria medrando en lo que los biólogos llaman una placa de Petri, es decir, nadando en un medio en el cual puede alimentarse y reproducirse. Al cabo de veinte minutos, esta bacteria habrá dado lugar a otra bacteria. Cada ciclo de veinte minutos serepetirá esta operación, de forma que cuando hayan pasado 40 minutos habrá 4 bacterias y al cabo de una hora ya serán 8 las bacterias que cohabiten en la placa.
Cada una de estas bacterias pesa realmente poco, alrededor de una billonésima de gramo (0´000.000.000.001g), o sea, que hace falta un billón de bacterias para que pesen un gramo. Pues bien, la pregunta que se plantea es la siguiente: ¿Cuál seráel peso de este cultivo al cabo de 48 horas? Recordemos que se empieza con una bacteria que se produce cada veinte minutos. Si le plantea la pregunta a alguien, puede estar plenamente convencido de que ganará una apuesta, ya que el error en la respuesta, incluso entre gente bregada en números, suele ser monumental. El peso final del cultivo sería el equivalente a unas 4.000 veces el peso de laTierra. Esto no va a suceder en la pequeña placa de Petri debido a que en el cultivo se llega a una etapa estacionaria, en la cual los excedentes contaminan el ambiente de nutrientes y las bacterias dejan de reproducirse. Pensemos que cuando esto no es así, las bacterias “malas” pueden llegar a fulminar a una extensa población humana en relativamente poco tiempo.
Estos resultados, que siemprenos sorprenden por sus desmesuradas proporciones, responden a un tipo de comportamiento que en matemáticas recibe el nombre de crecimiento exponencial. La mayoría de los crecimientos de población son de este tipo y las cifras que se manejan nunca dejan de sorprendernos. Por ejemplo, una pareja de ratas que en cada estación (primavera, verano, otoño, invierno) se reprodujera dando lugar a otrascuatro, llenaría con creces toda la faz de la Tierra en tan sólo 60 generaciones.
DEFINICIONES
La operación resultante de sumar un número x consigo mismo n veces, da lugar a lo que llamamos multiplicación.
X+x+x+…x (n veces) = x*n
Del mismo modo, la multiplicación de un número x por sí mismo n veces da lugar a la potenciación.
x*x*….*x (n veces)= xn
Al número x se le llama base, yal número n, exponente.
Se dice que una sucesión de números crece linealmente cuando tienen una tasa de aumento constante, es decir, cuando uno de ellos se puede obtener del anterior, sumándole una cantidad fija. Por ejemplo:
4,7,10,13,16…
En donde la tasa de aumento es tres, que es la cantidad fija que hay que sumar a cada número para obtener el siguiente. En términos algebraicos, si n esla posición que ocupa un término en la sucesión numérica anterior, su valor, que designaremos por f(n), es f(n)=n+3
En cambio, cuando esta tasa de aumento no crece con la suma sino con el producto, de manera que cada número se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, se dice que la serie tiene un crecimiento exponencial, como en el caso de :
2,4,8,16,32…
En en que cadaelemento de la serie se obtiene multiplicando el anterior por una cantidad fija, que en este caso es 2. En términos algebraicos, f(n)=2n.
En estos tipos de sucesiones numéricas también reciben los nombres respectivos de sucesión aritmética y sucesión geométrica.
EL TIMO DE AJEDREZ
Existe una leyenda que se utiliza como ejemplo casi proverbial sobre el crecimiento expotencial; cuenta quecuando el inventor del juego de ajedrez se lo mostró a su rey, éste quedó tan satisfecho con el invento que le otorgó cualquier cosa que quisiera como regalo. El inventor contestó que se conformaría si le regalaran 1 grano de trigo por la primera casilla, 2 por la segunda, 4 por la tercera y así sucesivamente hasta completar el tablero, a lo que el rey, ignorante de lo se le venía encima, accedió...
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