Curvas de tasas de interés

Un método eficiente para la simulación de curvas

De tasas de interés

I. Introducción
La medición del riesgo de mercado de un portafolio de activos financieros se estima a partir de los cambios en el valor del portafolio ocasionados por movimientos en los factores de riesgo. En el caso de instrumentos de deuda, el factor de riesgo más importante es la tasa de interés. Además, la tasade interés es un factor de riesgo importante en la valuación de otros instrumentos, como pueden ser las opciones, los futuros y los forwards. Tratándose de bonos, el método de valuación usual es el de descontar a valor presente los flujos futuros que generan, para lo cual es necesario conocer los flujos y sus fechas de pago así como los factores de descuento que se les debe aplicar a esos flujos.II. Tasa Spot y Tasa Forward

En teoría, en un mercado completo y sin impuestos, el precio de un bono es el valor presente de los cupones que paga más el valor presente del principal. Las tasas de descuento a distintos plazos utilizadas en el cálculo, corresponden a una estructura temporal de tasas spot; es decir: La estructura de tasas a una fecha dada se representa por una gráfica de latasa spot para cada fecha de vencimiento. La función de descuento y la tasa spot se relacionan de la siguiente manera:

[pic]

Sea [pic] la tasa de interés compuesta continuamente de un bono cupón-cero que se negocia en el momento t y vence en el tiempo [pic] Sea m=T-t el tiempo que falta para el vencimiento. El precio al tiempo t de este bono cupón-cero con principal igual a 1 peso, denotarála función de descuento[pic].

La tasa forward se relaciona con la tasa spot de la siguiente manera:

[pic]

Sea [pic] la tasa forward continuamente compuesta de un contrato forward negociado en t y cuya operación subyacente inicia en t’ y vence en T donde[pic].

La tasa forward instantánea, es la tasa forward de un contrato que vence en un periodo infinitesimal y se define como sigue:[pic]

La tasa forward [pic] es el promedio de las tasas forward instantáneas:

[pic]

De igual forma la tasa spot [pic] al tiempo t y plazo T es el promedio de las tasas forward instantáneas:

[pic]

III. El Modelo de Nelson y Siegel.

En el modelo paramétrico de Nelson y Siegel, se supone que la tasa forward instantánea es la solución de una ecuación diferencial de segundo ordencon dos raíces iguales. Suponiendo que la fecha de negociación de un contrato forward es [pic] , y que el día de inicio de la operación subyacente es m, la función de la tasa forward instantánea se define según:

[pic]

Donde [pic]es el vector de parámetros que determina la forma de la curva. Como se explicó en la sección anterior, la tasa spot [pic] se obtiene integrando las tasas forwardinstantáneas desde 0 hasta m y dividiendo entre m. De esta manera se obtiene la función de la tasa spot:

[pic]

Nótese que los coeficientes denotan el peso que se les da a las componentes de corto, mediano o largo plazo de la curva forward. En primer término, el límite de [pic] cuando m tiende a infinito es la constante[pic]. Por lo tanto, el parámetro [pic] denota el peso que se le da a lacomponente de largo plazo. Análogamente, [pic] denota el peso que se le da a la componente de corto plazo y [pic] es la importancia relativa al mediano plazo en la estructura temporal de tasas.

La componente de largo plazo es una constante que no cae a cero en el límite. La componente de mediano plazo está asociada al único término que empieza en cero (por lo cual no es de corto plazo) y cae a cero(por lo cual no es de largo plazo). El término de corto plazo es el único que cae monótonamente a cero.

El parámetro [pic] determina la rapidez con la que los términos que lo incluyen en la ecuación tienden a su límite. Entonces con un valor pequeño de [pic] las aproximaciones de la curva son mejores en los plazos cortos que en los largos. Análogamente, con valores de [pic] grandes, el ajuste...