Curvas En R2 Y R3

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
Z
Ejes Perpendiculares

Y

Origen

X

Sistema de Coordenadas Tridimensionales.
VI

Z
V

II
I

III
VII

X
IV

Y

Gráfico 3D generado en
Archim V. 2.1

Planos Perpendicularles a los Ejes.
Z

Ecuación: Z=3
Z=3 es // XY
Z=3 es ┴ Z
3
Y
-3

Ecuación: Z=-3

X

Planos Perpendicularles a los Ejes.
Z

Ecuación: X=-2
X=-2 // YZ
X=-2 ┴ X
Traza

-2
Y

Ecuación:y=3Y=3 // ZX
Y=3 ┴Y
X

Planos.

Z

Ecuación General:

x y z
  1
a b c

c
Traza con YZ

y z
 1
b c
Traza con XZ

b

x z
 1
a c

Y

a
Traza con XY

X

x y
 1
a b

Planos.
Ejemplo 1: Dada la siguiente ecuación, determine cortes, trazas y gráfica.
Ecuación: 10 x  15 z 30  6 y
Solucion:
1) Cortes
• Con X (Y=0, Z=0)
• 10x=30  x=3//
• Con Y (X=0, Z=0)
• 0=30+6y  y=-5//
• Con Z (X=0, Y=0)
•15z=30  z=2//
2) Trazas
• Con XY ( Z=0)
• 10x=30+6y  10x-6y=30//
• Con YZ (X=0)
• 15z=30+6y  15z-6y=30//
• Con XZ (Y=0)
• 10x+15z=30//

Z
15 z  6 y 30

Y
10 x  15 z 30

-5
10 x  6 y 30
3

X

2

Superficies Cilíndricas.
Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, 4z-x2+16=0 determine cortes, trazas y gráfica.
x2
Z
Ecuación: z   4
4
Solución:
La curva directriz está en el plano XZ
Las rectasgeneratrices son // Y
Análisis de la directriz:
Cortes con Z (x=0)
z  4

Cortes con X (z=0)
x2
0  4
x 4
4
Vértice:
0
b
xv 
0
2a
2
02
zv  4
zv   4
4

X
Y

xv 

Gráfico 3D generado en
Archim V. 2.1

Superficies Cilíndricas.
Ejemplo 2: Dada la siguiente ecuación, 4z-x2+16=0 determine cortes, trazas y gráfica.
x2
Z
Ecuación: z   4
4
Solución:
La curva directriz está en el plano XZ
Lasrectas generatrices son // Y
Análisis de la directriz:
Cortes con Z (x=0)

z  4
Cortes con X (z=0)
x2
0  4
x 4
4
Vértice:
0
b
xv 
xv 
0
2a
2
2
0
zv  4
zv   4
4

X
Y

Gráfico 3D generado en
Archim V. 2.1

6. Las Funciones Cuadráticas

Puntos Notables
Cortes con X (Y=0)

f ( x)  x 2  x  6

Cortes con Y (X=0) (c)

a 0

Máximos y Mínimos (Y’ =0)
Ecuación General

y ax 2  bx  cFórmulas

 b  b 2  4ac
x
2a
b
xv 
2a

f ( x)  x 2  4

generado en
a  0 Gráfico
Graphmatica V20f

Elipse
(x-x0)2 + (y-y0)2 =1
a2
b2
Al quitar denominadores y desarrollar se
obtiene, en general, una ecuación de la forma:

• Hallar la ecuación de la elipse de foco F(7, 2), de
vértice A(9, 2) y de centro C(4, 2).
a=9-5 => a=4 c=7-4 => c=3
b2= a2+ c2 => raíz (25-9) => b=4
x0 =4, y0 =2

Dadala ecuación:
Hallar el centro y semiejes, vértices y foco

solución
Y

c(xo, yo)
C=raiz[(xo 2- yo2)]
F=(xo +C ,yo)
F’=(xo -C ,yo)

X

-X

A=(xo +a, yo)
A’=(xo -a ,yo)
B=(xo ,yo +b)
B’=(xo ,yo -b)

c(6, -4)

a2= 36 => a=6
b2= 16 => b=4
C=raiz[(36 2- 162)] => C=2√5

C(6, -4)
F'=(6 -2√5, -4)
F=(6 +2√5, -4)

-Y

A=(12, -4)

B=(6 ,0)

A’=(0, -4)

B’=(6 ,8)

Grafica en Wolframalphahttp://www.wolframalpha.com/input/?i=%28x6%29^2%2F36%2B%28y%2B4%29^2%2F16%3D1

CURVAS EN R3
Mediante conceptos
vectoriales de paralelismo
y ortogonalidad

CURVAS
• Se describe una curva como el viaje que emprende una
partícula sobre el plano o el espacio.
• Se puede expresar por medio de:
• X=f(t)
• Y=g(t)
• Z=h(t)
• En cada valor de t conseguimos una posición de la curva
y el conjunto de ellos muestra latrayectoria.
• Para las curvas situadas en el plano XY la componente Z
es cero .

Ejemplo 1
• Trazar
 
la curva descrita por las ecuaciones:
• X=acost, Y=asent, Z=0 y t 0,2
• Para cada t obtenemos una terna (x,y,0)
tenemos la tabla:
t

0

X

+a

0

Y

0

Z

0

3

2

-a

0

+a

+a

0

-a

0

0

0

0

0

Z
-X

(-a,0,0)

-Y
(0,a,0)

(0,-a,0)

(a,0,0)

X

-Z

Y

•• Si  la curva es plana no es necesario elparámetro t para
obtener la ecuación cartesiana.
• X=acost , Y=asent (elevando al cuadrado)

• Por lo tanto la ecuación es de una circunferencia de radio
a

Ejemplo 2
•  Dada la curva descrita por la ecuaciones:
• X=3, Y=3cost, Z=2sent para t 0,2
• Tomamos Y =3cost y Z=2sent
•
•
• 1

La curva es una elipse
contenida en el plano x=3
Con centro (x,y,z) =(3,0,0)

Graficar la elipse
• 1
 
•
→ eje...