Cálculo vectorial, variable compleja

departamento de ingenieria matematica facultad de ciencas fisicas y matematicas UNIVERSIDAD DE CHILE

Cálculo Vectorial, Variable Compleja y Ecuaciones en Derivadas Parciales
Apuntes para el curso MA26B Matemáticas Aplicadas Segunda Edición
Felipe Alvarez Juan Diego Dávila Roberto Cominetti Héctor Ramírez C. Abril 2006

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Esta versión del apuntes no es definitiva y por lo tanto puedecontener ciertos errores. Si el lector encontrase algún error se ruega señalarlo a:

Héctor Ramírez C. hramirez@dim.uchile.cl

Prefacio
El cálculo vectorial en n , y el cálculo diferencial e integral de funciones de variable compleja son materias fundamentales del análisis matemático, tanto por su interés en matemáticas puras como por su utilidad para modelar y resolver problemas eningeniería. Una gran variedad de estos últimos se expresan en términos de ecuaciones en derivadas parciales (EDP), para cuya resolución los métodos basados en variable compleja son de gran eficacia. El objetivo de estos apuntes es proporcionar los elementos básicos del cálculo vectorial, de la teoría de funciones de variable compleja e ilustrar su utilización en la resolución de ecuaciones en derivadasparciales, tal como se expone en el curso de Matemáticas Aplicadas. Esta es una de las asignaturas del segundo año de la carrera de Ingeniería Civil de la Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas de la Universidad de Chile. Estos apuntes se basan en las notas escritas en colaboración con mi colega el Profesor Roberto Cominetti, y se han beneficiado de una activa participación de los Profesores HéctorRamírez Cabrera y Juan Diego Dávila. Buena parte del material referente a la teoría de EDP se debe a este último. Agradezco a todos ellos las múltiples e interesantes discusiones que hemos tenido sobre diversos aspectos del curso. Mis más sinceros agradecimientos a Miguel Carrasco y Claudio Pizarro, quienes participaron activamente en la confección de este apunte al transcribir en LaTeX buena partede las notas manuscritas, elaborar todas las figuras y sugerir varias ideas para mejorar la presentación. Sin ellos, la versión actual de los apuntes no existiría. También debo agradecer a Regina Mateluna por su eficiente y siempre bien dispuesta colaboración. Finalmente, quisiera agradecer el financiamiento proporcionado por el Departamento de Ingeniería Matemática de la Universidad de Chile y porel proyecto Fondef IDEA+. Felipe Alvarez Agosto 2005

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Derechos de autoría DIM
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Índice general
I Cálculo Vectorial 1

1. Curvas y superficies en

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3 3 5 6 8 8 9 9 10 12 13 13 14 15 16 17 18 19 23 23 26 27 32 33

1.1.Curvas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Reparametrización de curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Parametrización en longitud de arco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Velocidad, rapidez y vector tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....