Demostraciones de algebra lineal

UNIVERSIDAD DE EL SALVADOR
FACULTAD MULTIDISCIPLINARIA DE OCCIDENTE
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
LICENCIATURA EN ESTADÍSTICA


“SEGUNDA ACTIVIDAD EX AULA”
MATERIA:
ÁLGEBRA LINEAL II
PRESENTADO POR:
SALVADOR ENRIQUE RODRÍGUEZ HERNÁNDEZ
DENNIS RODOLFO RAMÍREZ FIGUEROA
JAVIER USEAS MENJÍVAR GONZÁLEZ
MARLON BLADIMIR ROSA VÁQUEZ
CICLO: I
AÑO: 2010
DOCENTE:
LICDA. CRISTINA CUBÍAS LÓPEZSANTA ANA, 09 DE JUNIO DE 2010

TEOREMA 1.
Sea Sea T´: V W y T´´: V W transformaciones lineales entre dos espacios vectoriales de dimensión finita V y W. Sean B y B´ bases de V y W respectivamente, entonces [T´+T´´]BB´ es [T´]+[T´´]; esto es:
[T´+T´´]BB´=[T´]BB´+[T´´]BB´
DEMOSTRACION:
Durante la demostración cuando se haga referencia a DEF3 se habla de la definición3 del tema “Algebra de transformaciones lineales”, y cuando se haga referencia a T3, se entenderá que se habla del teorema 3 del tema “Representación matricial de una transformación lineal”.
Sean T´: V W y T´´: V W y v un vector cualquiera de V. Por el teorema 3 de “Representación matricial de una transformación lineal” se tiene que:
T´+T´´BB´[v]B=T´+T´´(v)B´ (1)
Porotra parte, sabemos que:
T´BB´+T´´BB´[v]B=T´BB´[v]B+T´´BB´[v]B por la ley distributiva para la multiplicacion de matrices
=T´(v)B´+ T´´(v)B´ Por T3.
además, puesto que
[v1]B+[v2]B=[v1+v2]B ; ∀v1,v2∈ V
Se tendrá que
T´BB´+T´´BB´[v]B=T´v+T´´(v)B´ y en consecuencia (por definicion 1 del tema “algebra de matrices”),setiene:
T´BB´+T´´BB´[v]B=T´+T´´(v)B (2)
Entonces, por la unicidad de [T]BB´ establecida en T3 de (1) y (2) se sigue que
T´+T´´BB´=T´BB´+T´´BB´ como se quería demostrar.

TEOREMA 2.
Sea T: V W una transformación lineal entre 2 espacios vectoriales de dimensión finita y supóngase que B y B´ son las bases de V y W, respectivamente. Sea [T]= [T]BB´ la matriz asociada a T y supóngase que c escualquier escalar, entonces la matriz [cT] asociada a cT es c[T]; esto es, [cT]BB´=C[T]BB´.
DEMOSTRACION:
Si T: V W es una transformación lineal y [T]= [T]BB´ (1) es su matriz relativa a las bases B,B´. Sea v un vector en V y c cualquier escalar, se tiene:
[cT](v)= (c[T]) (v)
=c[T (v)]
=c([T]BB´ (v)) Por (1)
= (c[T]BB´) (v)
Puesto que:[cT]=[cT]BB´ por (1)
entonces se tiene que:
[cT]BB´=c[T]BB´
Para todo vector v en V (Esto es todas las matrices de n*1). Por lo tanto, la matriz asociada a [cT]BB´ es c[T]BB´ es decir la matriz asociada a T relativa a las bases B, B´ multiplicada por c.





TEOREMA 3.
Sea T´: U V y T´´: V W transformaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensiónfinitas U, V, W. Sean B, B´, B´´, bases de de U, V, W, respectivamente. Finalmente sean [T´]= [T´]BB´ Y [T´´]= [T´´]B´B´´, las matrices asociadas T´ y T´´ respectivamente entonces la matriz [T´´ T´]= [T´´ T´] BB´´ es [T´´] [T´] ; esto es, [T´´ T´]=[T´´] [T´], o sea [T´´ T´] BB´´=[T´´]B´B´´[T´]BB´.
DEMOSTRACION:
Sean T´: U V y T´´: V W transformacioneslineales y u un vector en U, por le teorema 3 del tema “Representación matricial de una transformación lineal” se tiene que:
[T´´ T´] BB´´ [u]B = [T´´ T´(u)]B´´ (1)
Por otra parte se sabe que:
([T´´]B´B´´[T´]BB´)[u]B = [T´´]B´B´´([T´]BB´[u]B ) (Por la definición 3 de “Algebra de transformaciones lineales”)
= [T´´]B´B´´([T´(u)]B´) (Por el teorema 3 de “Representación matricial de una transformación lineal”)
= [T´´(T´(u))]B´´ (Por el teorema 3 de “ Representación matricial de una transformación lineal”)
= [T´´T´(u)]B´´ (Por la definición 3 de “Algebra de transformaciones lineales”)
Por lo que:
([T´´]B´B´´[T´]BB´)[u]B = [T´´T´(u)]B´´ (2)
Luego por (1) y (2) se tiene que:
[T´´ T´] BB´´ [u]B =...