Derivacion

 
  |Derivada de una función  

• Introducción
• La derivada de una función
• Notaciones para la derivada de una función
• Continuidad y derivabilidad
• Teoremas sobre derivadas
• Derivada de una función compuesta  (Regla de la cadena)

• Diferenciales. Interpretación geométrica
o Incrementos
o Diferenciales
• Derivadas de ordensuperior
• Derivada de la función logarítmica
• Derivada de la función exponencial
• Derivada de las funciones trigonométricas
• Derivadas de las funciones inversas
• Las funciones trigonométricas inversas y sus derivadas
• Funciones paramétricas
• Funciones implícitas y su derivada
o Derivada de segundo orden para una función dada en forma implícita
•Teorema de Rolle(o teorema sobre las raíces de la derivada
• Teorema del valor medio para derivadas (Teorema de Lagrange)
• Teorema de Cauchy del valor medio (o extensión del teorema del valor medio para derivadas)
• Regla de L'Hôpital
o Introducción
o Teorema:   Regla de L'Hôpital
o Teorema 
o Aplicación de la Regla de L'Hôpital a otrasformas indeterminadas
o Límites que presentan la forma [pic]
o Otras formas indeterminadas

Introducción

El problema de la tangente

"Muchos de los problemas importantes del análisis matemático pueden transferirse o hacerse depender de un problema básico que ha sido de interés para los matemáticos desde los griegos (alrededor de 300-200 a. de J.C.). Es éste el problema detrazar una recta tangente a una curva dada en un punto específico a ella.

Fue resuelto este problema por métodos especiales en un gran número de ejemplos aislados aún en la temprana historia de las matemáticas. Por ejemplo, es bastante fácil resolver el problema si la curva es un círculo, y todo estudiante ha visto esta solución en su geometría de secundaria. Sin embargo, no fue si no hasta eltiempo de Isaac Newton (1642-1727) y de Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) que se dio un método general sistemático para obtener la solución. En este sentido se acredita a estos dos hombres la invención del cálculo.

Aunque el problema de la tangente pueda parecer de poco interés a los no matemáticos, el hecho es que las técnicas desarrolladas para resolver el problema son la mera columnavertebral de gran parte de la ciencia y la tecnología actuales. Por ejemplo, la dirección del movimiento de un objeto a lo largo de una curva en cada instante se define en términos de la dirección de la recta tangente a la trayectoria de movimiento. Las órbitas de los planetas al rededor del sol y las de los satélites artificiales alrededor de la Tierra, se estudian esencialmente comenzando con lainformación sobre la recta tangente a la trayectoria del movimiento. Un tipo diferente de problemas es el de estudiar la descomposición de una sustancia radioactiva tal como el radio cuando se conoce que la razón de descomposición en cada instante es proporcional a la cantidad de radio presente. La clave de este problema así como la del problema del movimiento, está en un análisis de lo que queremosdesignar con la palabra razón.

Como pronto veremos, este concepto está tan íntimamente relacionado con la pendiente de la recta tangente a una curva, que la formulación matemática abstracta de un problema sobre razones es indistinguible de la formulación del problema de la tangente.

Empezamos con el problema de la tangente no solo por su importancia histórica y práctica, sino también porque laintuición geométrica del lector contribuirá a hacer concreta la que, de otro modo, sería una noción abstracta"(Britton, 1968, 323).

 
Definición

 
Recibe el nombre de recta secante cualquier recta que pase por dos puntos diferentes de una curva.

En la siguiente figura se ha representado gráficamente una recta L secante a una curva:
[pic]

 
Como al conocer la pendiente de una...