Derivada direccional

Derivada direccional |
Definición (Dirección).- Una dirección en ℝ n es cualquier vector de norma 1.

Nota: Si u → es una dirección en el plano ℝ 2(n=2) entonces se puede expresar como u → =( cos⁡ϕ,senϕ ) siendo ϕ el ángulo que forma el vector con el eje positivo de las X. |
Vamos a considerar ahora lavariación de una función cuando nos movemos desde un punto a lo largo de una dirección. Si la función es de dos variables, la noción de derivadadireccional se puede interpretar geométricamente como la pendiente de la recta tangente a la curva intersección de la superficie con el plano vertical que contiene ala dirección dada.Haz clic sobre la imagen para ampliarla y pulsa sobre para ver la construcción. | |
Definición (Derivada direccional en un punto): Seaf una función definida en un entorno del punto P o y u → una dirección. Se define la derivada direccional de f en el punto P o como el valor del siguientelímite en el caso de que exista:
lim⁡ t→0 f( P o +t u → )−f( P o ) t Notación: La derivada direccional se denota por D u f( P o )= f u ' ( P o )= f φ ' ( P o) siendo u → =( cos⁡φ,senφ ) . |

Observaciones: * La existencia de esta derivada direccional significa que la función de una variable h( t )=f( P o+t u → ) es derivable en t=0: D u f( P o )=h'( 0 ) . * En el caso de una función de dos variables tenemos: * La derivada direccional en la direcciónu → =( 1,0 ) es la derivada parcial respecto a x * La derivada direccional en la dirección u → =( 0,1 ) es la derivada parcial respecto a y. |