Derivada impliciata

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Derivación Implícita
Funciones explícitas y funciones implícitas
En los cursos de cálculo la mayor parte de las funciones con que trabajamos están expresadas en forma explícita,como en la ecuación
[pic]
dónde la variable y está escrita explícitamente como función de x. Sin embargo, muchas funciones, por el contrario, están implícitas en una ecuación. La función y = 1 / x, vienedefinida implícitamente por la ecuación: x y = 1.
Si queremos hallar la derivada [pic] para esta última ecuación, lo hacemos despejando y, así, y = 1 / x = x -1, obteniendo su derivada fácilmente: [pic].
El método sirve siempre y cuando seamos capaces de despejar y en la ecuación. El problema es que sino se logra despejar y, es inútil este método. Por ejemplo, ¿cómo hallar dy/dx para la ecuaciónx2 - 2y3 + 4y = 2, donde resulta muy difícil despejar y como función explícita de x?
 
El método de regla de la cadena para funciones implícitas
Ya sabemos que cuando se derivan términos que solo contienen a x, la derivación será la habitual. Sin embargo, cuando tengamos que derivar un término donde aparezca la y, será necesario aplicar la regla de la cadena.
Ejemplo 1:
[pic] Aquí lasvariables coinciden: se deriva normalmente.
 
Ejemplo 2:
[pic] Aquí las variables no coinciden: se usa regla de la cadena.
 
Ejemplo 3:
Hallar [pic], de la función implícita:
[pic]
Aplicando la notación [pic], a cada término y extrayendo las constantes;
[pic].
En el primer término las variables coinciden, se deriva normalmente, en el segundo término se aplica la derivada de un producto(primer paréntesis cuadrado), lo mismo en el tercer término.
[pic].
La regla de la cadena se aplica el término [pic], como puede observarse a continuación claramente en el segundo paréntesis,
[pic]
quitando paréntesis y ordenando los términos,
[pic],
pasando algunos términos al lado derecho,
[pic]
extrayendo el factor común [pic][pic],
[pic]
y finalmente despejando, obtenemos larespuesta requerida:
[pic]
 
dy/dx con derivadas parciales
Mucho del trabajo anterior podría omitirse se usáramos la fórmula siguiente:
[pic]
donde [pic], representa la derivada parcial de la función f, con respecto a x,
y [pic], representa la derivada parcial de la función f, respecto a la variable y.
Ejemplo 4:
Hallar [pic], de la función implícita:
[pic]
Solución:
Primero,[pic]
segundo,
[pic]
ahora el cociente,
[pic]
acomodando el signo menos en el numerador, obtenemos el resultado:
[pic]
Para usar la fórmula se debe introducir al alumno a las derivadas parciales con algunos ejemplos. Obviando la teoría de las mismas que no es necesaria para el tema de derivación implícita.

Derivación implícita
[pic]
 [pic]Se dice que una función está definidaexplícitamente cuando se da de la forma  y = f (x); esto es cuando se da  y despejada en términos de x.En cambio, si en una ecuación, como por ejemplo, 2yx = cos3y, existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en x e y  puede definir a más de una función implícita.
[pic]
          En muchas ocasiones no se puederesolver explícitamente una función dada en forma implícita.    
[pic]
          Es posible hallar la derivada de una función expresada implícitamente, sin necesidad de transformarla en su equivalente explícita.
[pic]
 [pic]
[pic]
| [pic]Ejercicios resueltos |
|          En los siguientesejercicios, halle dy/dx por medio del proceso de diferenciación implícita |
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