DERIVADA TEOREMA

PLANTILLA_ UCV
2015

FAC. ING. SISTEMAS
Derivadas. Teoremas
ING. MARCO INGA

Esquema

Tasa de variación media en un intervalo
Para una función f(x) se define la tasa de variación media de f en un intervalo [a, b],
contenido en el dominio f(x), mediante el cociente:
Tm f[a, b] =

f(b) – f(a)
b–a

La tasa de variación media es una medida de la variación que experimenta una
función, en unintervalo, por unidad de variable independiente.

Pendiente positiva

Pendiente negativa

Tasa de variación media en un intervalo: ejemplo
La evolución en el tiempo del número de afiliados a la Seguridad Social en España
entre 1980 y 1999 ha seguido un modelo similar al que se refleja en la gráfica, donde
x representa el tiempo en años, siendo x = 0 el año 1980, y f(x) representa el número
de afiliadosexpresado en millones.

El incremento anual medio, o tasa de variación, media entre 1980 y 1999
f(19) – f(0)
es:



= 0,1241

Que puede interpretarse de la siguiente manera: entre 1980 y 1999 el
número de afiliados aumentó por término medio, en unas 124000
personas por año.

Tasa de variación instantánea
La tasa de variación instantánea TVI(x) o t i(x) , en un punto, es el límite de las tasasde variación media cuando los intervalos considerados se hacen cada vez más
pequeños:
f ( x  h)  f ( x )

TVI (x) = ti(x) =

lim

h 0

h

Derivada de una función en un punto
Def: Se dice que f(x) es derivable en x=p si existe el siguiente límite.

Si el límite existe y es finito,
la derivada de f(x) en x=p es

f(p+h) – f(p)
h
h o

f '(p) = lim

Interpretación geométrica de la derivada

Alhacer que h  0, ocurrirá que
• p + h tiende (se acerca) a p
• Q recorre la curva acercándose a P
• La recta secante a la curva se
convierte en la recta tangente
• La inclinación de la recta secante tiende
a la inclinación de la recta tangente

lim
h 0

f ( p  h)  f ( p )
 f ( p )
h

Si la función f tiene derivada en el punto p, la pendiente de la recta tangente a
la gráfica de la función f eneste punto es la derivada de f en p .

Ecuación de la recta tangente

Ecuación de la recta que pasa por un
punto A(a, b) y de pendiente m:
y – b = m (x – a)

t
t
f(a)

Entonces:
• Pendiente de la tangente: mt = f '(a)

t
a

• Ecuación de la recta tangente:
t  y – f(a) = f '(a) (x – a)

Ecuación de la recta normal

Ecuación de una recta que pasa por un punto P(p, f(p)) y de pendiente m:
y –f(p) = m (x – p)

Como la tangente y la normal son
perpendiculares sus pendientes son
inversas y cambiadas de signo.
Entonces:
Pendiente de la tangente: mt = f '(p)
Ecuación de la recta tangente:
y – f(p) = f '(p) (x – a)
Pendiente de la normal:
mn = –1/f '(p)
Ecuación de la normal:
y – f(p) = [–1/f '(p)] (x – a)

Derivadas
laterales
La derivada por la izquierda de la función f(x) en el punto x = aes el límite, si
f ( x  h)  f ( x )
existe, dado por f '(a –) = lim 
h 0
h

La derivada por la derecha de la función f(x) en el punto x = a es el límite, si existe,
dado por f '(a+ ) = lim*
h 0

f ( x  h)  f ( x )
h

Una función es derivable en un punto si y sólo si es derivable por la derecha y
por la izquierda y las derivadas laterales coinciden.

f '(a+) = tg α > 0
f '(a–) = tg β <0



a

Por ser f '(a+)  f '(a–), f(x) no es
derivable en el punto a.

Teorema

Una función derivable en un punto es continua en dicho punto.
Demostración: Queremos llegar al límite de la función en el punto

f (a  h)  f (a ) 

f (a  h)  f (a )
h
h

 f ( a  h)  f ( a ) 
h
h 0
h


f ( a  h)  f (a )
 lim
lim h
h0
h0
h
 f (a ) 0 0

lim  f (a  h)  f (a)   lim 
h 0

f( x) es derivable en x = a

lim f (a  h)  f (a)
h 0

f ( x) es continua en x  a

Relación continuidad y derivabilidad
Hay funciones continuas en un punto que no son derivables en ese punto.

y = |x| es continua en 0, pero no es derivable en dicho punto

= tgα

= tg β

Puesto que las derivadas laterales en 0 son
diferentes la función no es derivable en dicho
punto.

Función derivada

Se...