Derivada

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Límite
Ǝ límite cuando:
Lím x→a- = Lím x→a+, ε IR

Álgebra de Lím: ( Lím x→a ƒ(x) = L ; Lím x→a g(x) = M , K= Cte. )

Lím x→a [ ƒ(x) ± g(x) ] = Lím x→a ƒ(x) ± Lím x→a g(x) = L ± M
Lím x→a [ K * ƒ(x) ] = K * Lím x→a ƒ(x) = K * L
Lím x→a [ ƒ(x) * g(x) ] = Lím x→a ƒ(x) * Lím x→a g(x) = L * M
Lím x→a [ ƒ(x) / g(x) ] = Lím x→a ƒ(x) / Lím x→a g(x) = L / M
Lím x→a [ (ƒ(x) )1/n ] = ( Lím x→a ƒ(x) )1/n = L1/n
Lím x→a [ ( ƒ(x) )n ] = Ln
Lím x→a [ K ] = K
Lím x→a [ x ] = a
Lím x→a [ logb ƒ(x) ] = logb Lím x→a ƒ(x) = logb L
Lím x→a [ |ƒ(x)| ] = |Lím x→a ƒ(x)| = |a|

Técnicas de Lím:

Factorización: Para función racional de la forma ( P(x) / Q(x) ), con P(x) y Q(x) polinomios, “a” punto de acumulación del dominio y
Lím x→a P(x) =Lím x→a Q(x) = 0, para calcular el lím. Se debe factorizar por ( x – a ).

Racionalización: Para función racional de la forma ( P(x) / Q(x) ), P(x) y/o Q(x) expresión (es) que contiene (n) raíz de indice par, “a” punto de acumulación del dominio y Lím x→a P(x) = Lím x→a Q(x) = 0, para calcular el lím Se debe amplificar por el conjugado.

Cambio de variable: Para función racional de laforma ( P(x) / Q(x) ), P(x) y Q(x) expresiones que contienen raíces de distinto indice, una par y una impar, “a” punto de acumulación del dominio y Lím x→a P(x) = Lím x→a Q(x) = 0, para calcular el lím Se debe cambiar la variable, de manera que el exponente de la nueva variable sea divisible por ambos indices de raíz. También se debe cambiar el lím. Finalmente se debe simplificar por ( x – a ).El exponente de la nueva variable debe ser el mínimo común múltiplo de los indices de las raíces.

Infinito: Para función racional de la forma ( P(x) / Q(x) ), con P(x) y Q(x) polinomios y Lím x→∞ P(x) y Lím x→∞ Q(x). Para calcular el lím se debe amplificar la expresión por la inversa de la variable con mayor exponente.

Especiales 1: Lím x→a∞ ƒ(x) g(x) = Lím x→a∞ ƒ(x)Lím x→a∞ g(x), con Lím x→a∞ ƒ(x) ≠ 1Nota: [(1/2)∞ = 0 ; (2/1)∞ = ∞ ]

Especiales 2: Lím x→a∞ ƒ(x) g(x) = e Lím x→a∞ [ ƒ(x) – 1 ] * g(x), con Lím x→a∞ ƒ(x) = 1

Miselaneos 1: Sea y = ax función exponencial, con dominio de la función en el cuerpo de los IR y con recorrido en los IR+, entonces se tiene que Lím x→a [ ( ax – 1 ) / x ] = ln a.

Miselaneos 2: Si se tiene una función noracional cuya variable tiende al infinito, entonces se debe amplificar la función por su conjugada y luego resolver como función racional.

Para función racional de la forma ( P(x) / Q(x) ), P(x) y/o Q(x) expresión exponenciales, y el Lím x→∞ P(x) = Lím x→∞ Q(x) = ∞, entonces se debe amplificar por la inversa de la potencia de la mayor base.
Continuidad de una función ƒ

Ǝ continuidadcuando: Lím x→a+ ƒ(x) = Lím x→a- ƒ(x) = ƒ(a), ε IR

Ademas, si ƒ y g son funciones continuas en a, se tiene:

ƒ + g es continua en a
ƒ – g es continua en a
ƒ * g es continua en a
ƒ / g es continua en a, con g(a) ≠ 0
Si la función g es continua en a y la función ƒ es continua en g(a) entonces la función ƒ º g es continua en a.

Nota: Las funciones polinómicas, racionales,con radicales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas son continuas en todos los puntos de su dominio.

Discontinuidad de una función ƒ

Discontinuidad evitable: Deben ser redefinidas.

Existe f(a) y los límites laterales, que son iguales y finitos, pero distintos del valor de f(a).
No existe f(a) y los límites laterales existen y son finitos.

Discontinuidadinevitable:

Existe f(a) y los límites laterales existen pero son distintos.
Existe f(a) pero uno de los limites laterales no existe.
Diferenciación

El proceso de calcular la derivada de una función se denomina diferenciación, esto es, la diferenciación es la operación mediante la cual se obtiene la función ƒ ' a partir de la función ƒ.

Si una función tiene una derivada en x1,...
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