Derivadas en varias varibles

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Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5

5. ANÁLISIS DE
VARIABLES.

66

FUNCIONES

DE

VARIAS

En este apartado trabajaremos con funciones de dos variables, aunque los cálculos
analíticos se pueden efectuar con funciones de más de dos variables, con las limitaciones
relacionadas con la imposibilidad de representar sus gráficas.
5.1. GRÁFICAS Y CURVAS DE NIVEL DE FUNCIONES DE DOSVARIABLES.
EJEMPLO 5.1.
Dibujar la gráfica de la función
 x2 + y2 
cos
4


.
f ( x, y ) =
2
2
3+ x + y
Solución
Editamos la función

y marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o
marcamos nuevamente

y una vez abierta la ventana 3D

y obtenemos

Como el recorrido de la función coseno es [-1,-1], el recorrido de nuestra función es
[-1/3,1/3]. Modificamos, portanto, la escala en la variable z, para obtener una mejor visión de
la gráfica. Marcamos
obteniendo

y fijamos el mínimo de la variable z en –0.5 y el máximo en 0.5,

Análisis de funciones de varias variables

67

Para cambiar el punto de referencia del observador marcamos en Seleccionar la opción
Posición de ojo o equivalentemente
si: x=10, y=10, z=24, obtenemos

y cambiamos lasCoordenadas del ojo. Por ejemplo,

Podemos conseguir el mismo efecto (cambio de posición del ojo) utilizando los iconos
Si lo que queremos es enfocar a otro punto de la gráfica para ver un trozo diferente de
la misma marcamos en Seleccionar la opción Región. Por ejemplo, cambiando las
coordenadas del Centro por: x=5, y=5, z=0.2, obtenemos

Prácticas de Matemáticas I con DERIVE-5

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Si loque queremos es ampliar o disminuir la visión que tenemos de la gráfica
marcamos en Seleccionar la opción Región y cambiamos Longitud o, equivalentemente,
pinchamos el botón de herramientas
x=25, y=25 y z=0.5, obtenemos

EJEMPLO 5.2.
Dada la función f(x,y)=x2+y2, se pide:
(a) dibujar su gráfica
(b) construir sus curvas de nivel.

que nos interese. Por ejemplo, considerando:

Análisisde funciones de varias variables

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Solución
(a) Para dibujar la gráfica editamos la expresión
Como en el ejemplo anterior marcamos en Ventana la opción Nueva ventana 3D o
y una vez abierta la ventana 3D marcamos nuevamente

y obtenemos

(b) Las curvas de nivel de esta función son de la forma f(x,y)=k. Un camino para
representar estas curvas sería ir dando valores a k y para cada unode ellos representar la
ecuación f(x,y)=k. Utilizando la función VECTOR podemos agrupar en una misma expresión
las curvas de nivel que nosotros queramos; por ejemplo cuando k va desde 1 hasta 5. Editando
y simplificando la expresión
obtenemos

Si abrimos ahora una Ventana 2D y mandamos representar con el icono
obtenemos las gráficas de esas 5 curvas de nivel:

Prácticas de Matemáticas Icon DERIVE-5

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EJEMPLO 5.3.
Dibujar la gráfica y las curvas de nivel de la función f(x,y)=

y2
− 3x .
5

Solución
Editamos la expresión

abrimos una Ventana 3D, marcamos

. La gráfica que obtenemos es

Si deseamos dibujar las curvas de nivel de la función, debemos representar las ecuaciones
f(x,y)=k, por ejemplo para k desde –5 a 5, editando
que al simplificar y representarnos da las curvas de nivel

Análisis de funciones de varias variables

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5.2. LÍMITES Y CONTINUIDAD.
Como bien sabemos, en funciones de varias variables el concepto de límite es mucho más
complejo que en funciones de una variable debido a que a un punto nos podemos aproximar
por muchas direcciones diferentes. Veamos algunos ejemplos que nos permiten estudiar la
continuidad de lafunción a través de la información que nos da su límite.
EJEMPLO 5.4.
Determinar si es continua en (0,0) la función
x + y

f ( x, y ) =  x − y
0

Solución

x≠ y
x= y

Estudiamos en primer lugar la existencia de límite en dicho punto. Para calcular dicho
límite calculamos sus límites reiterados. Comenzamos calculando primero el límite respecto
de la variable x y después respecto...
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