Derivadas

República Bolivariana de Venezuela
Universidad Gran Mariscal De Ayacucho
FACES

Derivadas e interpolación
Derivadas e interpolación

Alumna:
De Gouveia, Jorge.
CI:18.622.240

Ciudad Bolívar, Mayo Del 2011
Introducción.

Las técnicas de interpolación numérica proporcionan las herramientas para obtener las funciones analíticas de funciones tabularesque comúnmente son la materia prima de los procesos propios de las prácticas de la Ingeniería.

Sin embargo, cuando se dispone de una función tabular compuesta de un número tal de puntos que hace poco practica la obtención de la expresión analítica, no resulta sencillo obtener las derivadas (o las integrales) de dicha función. Las siguientes herramientas de derivación numérica permiten obtenerlas derivadas de la función en la en cualquiera de los puntos seleccionados, sin necesidad de recurrir a la expresión analítica.


Desarrollo.
Fórmulas de derivación
[En las fórmulas siguientes u, v y w son funciones derivables de x.
 

1. |   , siendo c una constante. |
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 Interpolación de la tabla de interés
Interpolar es calcular el valor aproximado de una magnitud en un intervalo cuando conocemos algunos de los valores que toma a uno y otro lado de dicho intervalo.
En la vida real, encontramos situaciones carentes de información que permiten determinar valores dependientes (y), en función de una o más variables independientes. Es aquí cuando utilizamos lainterpolación. Los métodos más utilizados son: método lineal, logaritmo y el exponencial.
Sólo aplicaremos la interpolación lineal, debido a su sencillez y gran utilidad. La interpolación lineal implica la utilización de la ecuación de la recta.
y = Variable Dependiente
x = Variable Independiente
m = Pendiente de la recta
c = Coeficiente de posición
La manera de utilizar esta fórmula, escalculándola a partir de dos puntos. Para ello utilizamos la ecuación de la pendiente. Graficando el método lineal, obtenemos:
Veamos lo expuesto con algunos ejemplos, en los cuales operamos aplicando las tablas financieras T2 y T3; para ilustración del lector adjuntamos la tabla T1.
Efectuamos la solución de problemas de este grupo utilizando la respectiva fórmula de la tasa de interés.
Ejemplo:Existe la posibilidad de invertir, abonando ocho cuotas iguales de UM 5,000 cada una y, al efectuar el último pago tendremos la posibilidad de obtener una suma de UM 48,600. ¿Cuál es la tasa de interés de esta inversión?
Solución:
VF = 48,600; C = 5,000; n = 8; i = ?
Con la tabla, encontramos el factor:
Con n = 8 y el factor 9.72 en T3 ubicamos la fila 8 del n, nos desplazamos a la derecha yencontramos los factores 9.5491 y 9.8975, debajo de las columnas del 5% y 6% respectivamente. Para encontrar la tasa de interés (i) con mayor grado de precisión efectuaremos un conjunto de operaciones para obtener a partir de las tablas financieras valores muy aproximados a la tasa de interés buscada. Graficando, tenemos:
Determinamos el valor de i, por interpolación a través de la proporción entre ladiferencia del valor central (9.72) menos el valor inferior (9.5491), dividiendo el resultado entre la diferencia de los factores extremos (9.8975 - 9.5491), finalmente con esta relación establecemos la igualdad con los intereses, despejando i obtenemos:
Respuesta:
Graficando al factor 9.72 le corresponde la tasa de interés de 5.49%.
Valor presente
Procede de la expresión inglesa Net presentvalue. El acrónimo es NPV en inglés y VAN en español. Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo...